请教一道不等式

longzaifei

$x,y,z$为正实数，且满足$x^n+y^n+z^n=3 　（n\ge1) $ 求证：
\[ \frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}\ge\frac{3}{2}  \]

谢谢各位！

其妙

回复 1# longzaifei
blog.sina.com.cn/s/blog_5618e6650101oalh.html

kuing

条件吓人，不过其实可以弱化，实际上，只要证当 $x+y+z\leqslant3$ 时不等式成立即可，展开用 pqr 可证成立，至于妙法暂时没心情想……

longzaifei

条件吓人，不过其实可以弱化，实际上，只要证当 $x+y+z\leqslant3$ 时不等式成立即可，展开用 pqr 可证成立 ...
kuing 发表于 2013-11-8 14:16

我展开后是
\[3xyz+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge x^3yz+xy^3z+xyz^3+3x^2y^2z^2   \]
设$p=x+y+z, q=xy+yz+zx ,r=xyz  $则原式为
\[3r+q^2-2pr \ge rp^2-2rq+3r^2  \]
请问然后怎么做。。。。

kuing

回复 4# longzaifei

后面是关于 r 的开口向下的二次函数，由 pqr 定理知只要证二元相等或一元为0时。

longzaifei

回复  longzaifei

后面是关于 r 的开口向下的二次函数，由 pqr 定理知只要证二元相等或一元为0时。 ...
kuing 发表于 2013-11-13 12:18

我查查资料吧，谢谢kuing

kuing

看旧贴，发现这个题其实后来在 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=2210 一贴中不知不觉已经解决了，当时完全不记得了这个贴了。

结合前面的内容，写写具体过程。

易知满足 $x^n+y^n+z^n=3$（$n\geqslant1$）的正实数 $x$, $y$, $z$ 必满足 $x+y+z\leqslant 3$，由此可见，我们只需证明当 $x$, $y$, $z>0$, $x+y+z\leqslant 3$ 时原不等式成立即可。

显然，对于任意满足 $x$, $y$, $z>0$, $x+y+z\leqslant 3$ 的 $x$, $y$, $z$，我们总可以找到相应的 $a$, $b$, $c$, $t$，满足 $a$, $b$, $c>0$, $a+b+c=3$, $0<t\leqslant 1$ 且 $x=ta$, $y=tb$, $z=tc$，于是原不等式等价于
\[\frac{a}{a+tbc}+\frac{b}{b+tca}+\frac{c}{c+tab}\geqslant \frac32,\]
显然上式左边关于 $t$ 递减，而 $0<t\leqslant 1$，故此只要证明当 $t=1$ 时上式成立即可，这也就是说，只要证明原不等式当 $x+y+z=3$ 时成立即可。此时
\begin{align*}
\sum\frac z{z+xy}\geqslant \frac32 &\iff \sum\frac{z(x+y+z)}{z(x+y+z)+3xy}\geqslant \frac32 \\
&\iff \sum\left( \frac{z(x+y+z)}{z(x+y+z)+3xy}-\frac12 \right)\geqslant 0 \\
&\iff \sum\frac{(z-x)(z+3y)+(z-y)(z+3x)}{z(x+y+z)+3xy}\geqslant 0 \\
&\iff \sum\left( \frac{(z-x)(z+3y)}{z(x+y+z)+3xy}+\frac{(x-z)(x+3y)}{x(x+y+z)+3yz} \right)\geqslant 0 \\
&\iff \sum\frac{6y^2(x-z)^2}{\bigl(z(x+y+z)+3xy\bigr)\bigl(x(x+y+z)+3yz\bigr)} \geqslant 0,
\end{align*}
显然成立，原不等式得证。