一道积分不等式题

Cpy1531

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微，$0\leq f'(x)\leq1(0\leq x\leq1)$，且 $f(0)=0$，证明：
$$\int _ { 0 } ^ { 1 } f ^ { 3 } ( x ) d x \leq \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( f' ( x ) ) ^ { 2 } d x.$$

abababa

因为$f'(x)$非负，所以$f(x)$是$[0,1]$上的不减函数，当$x\in[0,1]$时$f(x)\ge f(0)=0$，设
\[F(x)=\left(\int_{0}^{x}f(t)dt\right)^2-\int_{0}^{x}f^3(t)dt\]

显然$F(0)=0$，两边对$x$求导得
\[F'(x)=2f(x)\int_{0}^{x}f(t)dt-f^3(x)=f(x)\left(2\int_{0}^{x}f(t)dt-f^2(x)\right)=f(x)G(x)\]

显然$G(0)=0$，两边对$x$求导得
\[G'(x)=2f(x)-2f(x)f'(x)=2f(x)(1-f'(x))\ge0\]
所以当$x\in[0,1]$时$G(x)$是不减函数，$G(x)\ge G(0)=0$，所以$F'(x)=f(x)G(x)\ge0$，因此$F(x)$也是不减函数，$F(x)\ge F(0)=0$，即
\[\int_{0}^{x}f^3(t)dt \le \left(\int_{0}^{x}f(t)dt\right)^2\]
令$x=1$即有
\[\int_{0}^{1}f^3(x)dx \le \left(\int_{0}^{1}f(x)dx\right)^2\qquad(*)\]

因为$f(x)=\int_{0}^{x}f'(t)dt+f(0)=\int_{0}^{x}f'(t)dt$，所以
\[f^2(x)=\left(\int_{0}^{x}f'(t)dt\right)^2\le\left(\int_{0}^{x}1^2dt\right)\left(\int_{0}^{x}(f'(t))^2dt\right)=(x-0)\int_{0}^{x}(f'(t))^2dt\]
两边对$x$积分得
\[
\begin{aligned}
\int_{0}^{1}f^2(x)dx &\le\int_{0}^{1}\left[(x-0)\int_{0}^{x}(f'(t))^2dt\right]dx\\
&=\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{x}(f'(t))^2dt\right)d\left(\frac{(x-0)^2}{2}\right)\\
&=\left[\int_{0}^{x}(f'(t))^2dt\cdot\frac{(x-0)^2}{2}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\left(\frac{(x-0)^2}{2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left(\int_{0}^{x}(f'(t))^2dt\right)\right)dx\\
&=\frac{(1-0)^2}{2}\int_{0}^{1}(f'(t))^2dt-\frac{1}{2}\color{red}{\int_{0}^{1}(x-0)^2(f'(x))^2dx}\\
&\le\frac{(1-0)^2}{2}\int_{0}^{1}(f'(t))^2dt\qquad(**)
\end{aligned}
\]
红色的积分是非负数，所以有后面的不等号，然后结合(*)(**)两个不等式就得到结果了。

青青子衿

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\[\int_{0}^{1}f^3(x)dx \le \left[\int_{0}^{1}f(x)dx\right]^2\le\int_{0}^{1}f^2(x)dx\le\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1}\left[f'(x)\right]^2dx \]
前半段不等式是1973年举办的第34届普特南数学竞赛B4题，
也是2016年全国大学生数学竞赛非数类第二大题，
还是上海交通大学的数学分析考研题。

也可以用柯西中值定理证明，参见裴礼文P345-346