一时愣住了：基本不等式$4(a+b)=4ab+3$

isee

题：已知0<a,b<1且$4(a+b)=4ab+3$，则$a+2b$的最大值为______.

好久不见，多个尾巴3，一时愣住了，当时选择了判别式法.

后来，搜了一题，原来分解因式：$$1=4(ab-a-b+1)=4(1-a)(1-b),$$所以$$a+2b=3-\big((1-a)+2(1-b)\big)\leqslant 3-2\sqrt{2(1-a)(1-b)}=3-\sqrt 2.$$

kuing

类似：forum.php?mod=viewthread&tid=2560

敬畏数学

回复 1# isee
很简单，常规的很。
$ a=\dfrac{3-4b}{4-4b}=1-\dfrac{1}{4(1-b)},a+2b=3-\dfrac{1}{4(1-b)}-2（1-b）\leqslant 3-\sqrt{2} $，等号略。为什么要搞什么分解因式这么牛叉的式子，吓人。

isee

回复 2# kuing

巧解，犀利
=================
今天又看了看，其实具有一般性，只是那贴两边常数一样了.

记$a+2b=t$，则
\begin{align*}
4(a+b)&=4ab+3\\
4(a+2b)&=4ab+4b+3=4b(a+1)+3\\
4t-3=2\cdot 2b(a+1)&\leqslant 2\cdot \left(\frac{t+1}2\right)^2\\
\Rightarrow 8t-6&\leqslant t^2+2t+1\\
t^2-6t+7&\geqslant 0\\
0<t&\leqslant 3-\sqrt 2
\end{align*}

isee

回复 3# 敬畏数学


化一元，化归，赞！

isee

回复 1# isee

补充一道陈题：正实数$a,b,c$满足$2a+b+c=\sqrt 6$，则$a(a+b+c)+bc$的最大值为_____.
类似上面的分解因式解

aipotuo

$xy+ax+by+c=0$基本上就是双曲线, 所以从这个角度看因式分解也可以理解为自然的.