$a^x+b^\frac{1}{x}=a+b$

tommywong

teomihai:

IF YOU HAVE ONE HINT FOR THIS PROBLEM:

$a^x+b^\frac{1}{x}=a+b$ where a,b>1

i don't prove only solutions is 1 and $\log_{a}b$

thanks very nuch sir.

kuing

若 `x<0` 则左 < 右，所以只需考虑 `x>0`，令 `f(x)=a^x+b^{1/x}`，因为 `a`, `b>1`（如果没这条件就不知怎么办了），有 `f''(x)=a^x\ln^2a+b^{1/x}\ln b(2x+\ln b)/x^4>0`，所以方程最多两解，而你已经发现 `x=1` 和 `x=\log_ab` 是解，那就没其他解了。

isee

回复 2# kuing


这个下凸给力

睡神

一开始这样想的：
令$u=b^\frac{1}{x}$
则$b=u^x$
由$a^x+b^\frac{1}{x}=a+b$
得$a^x-a=b-b^\frac{1}{x}=u^x-u$
再由函数单调性求解
总感觉哪里有问题

kuing

回复 4# 睡神

但 u 是关于 x 的变量啊

睡神

回复 5# kuing
换元后，复合函数和原函数单调性不是不变吗…我也觉得u为变量有点怪怪的