求无穷级数和$\displaystyle{\sum_{k=0}^\infty\dfrac{1}{1+k^4}}$

Czhang271828

得闲时出咗一道无穷级数求和题

\[
\sum_{k=0}^\infty\dfrac{1}{1+k^4}
\]

题主先后采用展开式$\displaystyle{\dfrac{1}{1+k^4}=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n-1}}{k^{4n}}}$与及留数法进行计算，但系过程好复杂嘞，想问吓有冇更简单嘅方法？

p.s. （留数法求无穷数列和公式）若亚纯函数（如有理多项式、三角式等函数）$f(z)$满足

\[
\sum_{n=-\infty}^\infty f(n)<\infty
\]

则

\[
\sum_{n=-\infty}^\infty f(n)=-\pi\sum{函数 \cot(\pi z)f(z) 于pole处嘅留数}
\]

p.p.s.答案系$\dfrac{1}{2}+\dfrac{\pi}{2}\Re(e^{3i\pi/4}\cot(e^{3i\pi/4}\pi))$，返屋企之后再附上解答过程。

青青子衿

回复 1# Czhang271828
如何用Fourier系数求两道级数和
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Czhang271828

下求无穷级数和 $\displaystyle{\sum_{n\in\mathbb Z_+}\dfrac{1}{n^4+1}}$。

展开得$\displaystyle{\sum_{n\in\mathbb Z_+}\dfrac{1}{n^4+1}=\displaystyle{\sum_{n\in\mathbb Z_+}\dfrac{n^{-4}}{n^{-4}+1}}=\sum_{n\in\mathbb Z_+}\sum_{k=1}^\infty\dfrac{(-1)^{k-1}}{n^{4k}}}$，再由积分$\displaystyle{\iint_{\mathbb R_+^2}\dfrac{\mathrm dx\mathrm d y}{r^4}}$（绝对）收敛知级数可交换求和顺序，即求
\[
\sum_{k=1}^\infty\sum_{n\in\mathbb Z_+}\dfrac{(-1)^{k-1}}{n^{4k}}
\]
由 $\zeta(2n) = (-1)^{n+1} \dfrac{B_{2n} 2^{2n}}{2(2n)!} \pi^{2n}$ 可推得
\[
\sum_{k=1}^\infty\sum_{n\in\mathbb Z_+}\dfrac{(-1)^{k-1}}{n^{4k}}=\sum_{k=1}^\infty\dfrac{B_{4k}2^{4k}}{2(4k)!}\pi^{4k}
\]
比较展开式
\[
\cot x=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}
\]
可知原级数和等于
\[
\dfrac{1}{2}\left(1+\pi\left(e^{3i\pi/4}\cot(e^{3i\pi/4}\pi)+e^{5i\pi/4}\cot(e^{5i\pi/4}\pi)\right)\right)
\]
即$\dfrac{1}{2}+\dfrac{\pi}{2}\Re(e^{3i\pi/4}\cot(e^{3i\pi/4}\pi))$。

***

留数法：$f(z)=\dfrac{1}{z^4+1}$在$\mathbb C$上亚纯，poles 为 $\omega$、$\omega^3$、$\omega^5$、$\omega^7$（这里$\omega=e^{i\pi/8}$）。留数和为
\[
\sum_{m=1,3,5,7}\dfrac{\cot(\pi \omega^m)}{(z-\omega^{m+2})(z-\omega^{m+4})(z-\omega^{m+6})}
\]
可以猜到结果$-\Re(e^{3i\pi/4}\cot(e^{3i\pi/4}\pi))$，但不知如何化简比较快……有冇精通复变/数论嘅大佬嚟睇下？

由此得$\displaystyle{\sum_{n\in\mathbb Z_+}\dfrac{1}{n^4+1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\pi}{2}\Re(e^{3i\pi/4}\cot(e^{3i\pi/4}\pi))}$。

Czhang271828

回复  Czhang271828
如何用Fourier系数求两道级数和
青青子衿 发表于 2021-1-12 19:41

多谢，没注意到$\dfrac{1}{n^4+1}=\dfrac{1}{(n^2+i)(n^2-i)}$