两道形式类似的求最小值题目

lemondian

（1）若$a^2+b^2=1,a,b>0,m,n\inN^*$，求$\dfrac{(\sqrt{2})^n}{ma^m}+\dfrac{(\sqrt{2})^m}{nb^n}$的最小值。
(2)若$a^2+b^2+c^2=1,a,b,c>0,m,n,k\inN^*$，求$\dfrac{(\sqrt{3})^{n+k}}{ma^m}+\dfrac{(\sqrt{3})^{k+m}}{nb^n}+\dfrac{(\sqrt{3})^{m+n}}{kc^k}$的最小值。
请问如何解答？
上述题目能否推广到$n$元形式？又如何解答呢？

力工

回复 1# lemondian

这也是你的推广吧。

lemondian

回复 2# 力工
尝试着推广一下，不知是否可行？
@kuing

kuing

回复 3# lemondian

唉，这和你之前的这帖 forum.php?mod=viewthread&tid=6828 有什么两样？

lemondian

回复 4# kuing
这帖的指数相同，而1#的指数不同，我还是转不过来！
麻烦@kuing,请写一下吧

kuing

回复 5# lemondian

好吧是我看错了不好意思

kuing

首先作个非必要的换元，让式子好看些。

令 `x=2a^2`, `y=2b^2`, `m=2p`, `n=2q`，条件变成 `x`, `y`, `p`, `q>0`, `x+y=2`，所求式变成
\[2^{p+q-1}\left( \frac1{px^p}+\frac1{qy^q} \right),\]由加权均值有
\[\frac1{x^p}+px\geqslant p+1,\]另一项同理，故
\[\frac1{px^p}+\frac1{qy^q}\geqslant1+\frac1p-x+1+\frac1q-y=\frac1p+\frac1q,\]当 `x=y=1` 时取等。

PS、这里 `p`, `q` 只需为正实数，所以 1# 的 `m`, `n` 也一样，无需整。

关键无非就是那个加权均值，所以要怎么推广，只要把系数弄好即可。

lemondian

谢谢@kuing

lemondian

回复 8# lemondian
这个推广对吗？
如果是对的，有没有那位给证明一下？