积化和差的推广

青青子衿

\begin{aligned}
& \cos (\alpha) \cos (\beta) \cos (y))  \\
& =\frac{1}{4} \cos (\alpha-\beta-\gamma)+\frac{1}{4} \cos (\alpha-\beta+\gamma)+\frac{1}{4} \cos (\alpha+\beta-\gamma)+\frac{1}{4} \cos (\alpha+\beta+\gamma) \\
& \sin (\alpha) \sin (\beta)  \sin (x))  \\
& =\frac{1}{4} \sin (\alpha-\beta+\gamma)-\frac{1}{4} \sin (\alpha-\beta-\gamma)-\frac{1}{4} \sin (\alpha+\beta+\gamma)+\frac{1}{4} \sin (\alpha+\beta-\gamma)
\end{aligned}
还能做进一步的推广吗？

战巡

回复 1# 青青子衿


这个挺有意思

首先看简单的
\[\cos(x_1)\cos(x_2)=\frac{1}{2}[\cos(x_1+x_2)+\cos(x_1-x_2)]=\frac{1}{4}[\cos(x_1+x_2)+\cos(x_1-x_2)+\cos(-x_1-x_2)+\cos(x_2-x_1)]\]
所以不妨猜想
\[\prod_{i=1}^n\cos(x_i)=\frac{1}{2^n}\sum_{C}\cos(\sum_{i=1}^nc_ix_i)\]
其中$C=\{c_1,c_2,...,c_n\},c_i\in\{-1,1\}, i\in[1,n]$
这个对于$n=2$时已经成立了，$n=3$时楼主也验证成立了，下面数学归纳就好
假设上式在$n=k>2$时成立，当$n=k+1$时
\[\prod_{i=1}^{k+1}\cos(x_i)=\frac{1}{2^k}\sum_{C}\cos(\sum_{i=1}^kc_ix_i)\cos(x_{k+1})=\frac{1}{2^{k+1}}\sum_{C}[\cos(\sum_{i=1}^kc_ix_i+x_{k+1})+\cos(\sum_{i=1}^kc_ix_i-x_{k+1})]\]
\[=\frac{1}{2^{k+1}}\sum_{C}\cos(\sum_{i=1}^{k+1}c_ix_i)\]
于是得证

其实$\prod_{i=1}^n\cos(x_i)$就是对所有$x_i$加减组合，求余弦值后再取算术平均值...
正弦的类似，可以做个$x=\frac{\pi}{2}-y$，变成余弦然后套进上面

其妙

牛笔！都是牛人啊！