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isee
Posted 2021-1-23 21:24
Last edited by isee 2021-1-24 11:57回复 2# kuing
大体是，而已论坛里有逆命题，不知道在哪帖子里了
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回复 3# isee
解析几何，我还是写一下第21(2)题吧，——昨天是把顶点看成焦点，今天是把角的2倍弄反了，算来算去都不对劲，果然是不合适写题啊——
题：双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左顶点为$A$，右焦点为$F$，动点$B$在$C$上．当$BF\bot AF$时，$|AF|=|BF|$．
（1）求$C$的离心率；
（2）若$B$在第一象限，证明：$\angle BFA=2\angle BAF$．
解：by iC
由（1）知$c=2a$，双曲线方程即$3x^2-y^2=3a^2$.
设$\angle BAF=\alpha$，$\angle BFA=\beta$，记点$B(x_0,y_0)$则，容易有$$\tan \alpha=\frac{y_0}{x_0+a},\tan \beta=\frac{y_0}{c-x_0}.$$
从而$$\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{2y_0(x_0+a)}{(x_0+a)^2-y_0^2}$$
将分母中用$-y_0^2=3a^2-3x_0^2$换掉$-y_0^2$化简有$$\tan 2\alpha=\frac{2y_0(x_0+a)}{-2(x_0-2a)(x_0+a)}=\frac{y_0}{c-x_0}=\tan\beta.$$
又这两角在三角形中，于是$\beta=2\alpha$。
另外$x_0=c$时，即为（1），满足$\angle BFA=2\angle BAF$. |
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kuing
Posted 2021-1-23 20:28
其妙
Posted 2021-2-12 20:49
