比较有意的一个反比例函数的性质

isee

如图，反比例函数图象与正比例函数图象交于点A、B，点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．
点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．

kuing

大概和《撸题集》第 190 页题目 2.2.6 是一样嘀东西。

kuing

不过这里毕竟是反过来嘀，还是重新写写吧。

将坐标系绕原点旋转 $45\du$，反比例函数变为等轴双曲线 $x^2-y^2=\lambda$（$\lambda\ne0$），由于 $A$, $B$ 为双曲线上关于其中心对称的点，根据双曲线性质有 $k_{PA}\cdot k_{PB}=k_{QA}\cdot k_{QB}=1$。

设从直线 $QA$ 到直线 $PA$ 的角为 $\alpha$，从直线 $PB$ 到直线 $QB$ 的角为 $\beta$，则由到角公式
\[
\tan\alpha=\frac{k_{PA}-k_{QA}}{1+k_{PA}\cdot k_{QA}}
=\frac{\frac1{k_{PB}}-\frac1{k_{QB}}}{1+\frac1{k_{PB}}\cdot\frac1{k_{QB}}}
=\frac{k_{QB}-k_{PB}}{k_{PB}\cdot k_{QB}+1}
=\tan\beta,
\]
从而 $\alpha=\beta$。

注意这里用的是到角，是有方向的，范围是 $[0,\pi)$，所以 $Q$ 的位置不限，当然仍然有一些细节没处理的，就是斜率不存在时，懒得扯了唉。

isee

回复 2# kuing


    撸题集，不傀是集啊——反过来才引起我的注意咯。。。。。。

isee

回复 3# kuing


    变成等轴双曲线后，纯几何可这样——（对先点P，得粗红两角等，同理处知Q也有标黑点两角等）

    所以说有点意思。。。。（图有点大，如果觉着有点模糊，点击图片查看原图）。

kuing

回复 5# isee

O，这让我想起上次那个十点圆

乌贼

3楼与5楼，一个代数相等，一个几何相等。

乌贼

回复 2# kuing
几何画板，如果不用代数，那 ，若为空间中……

isee

回复 8# 乌贼


    角等推双曲线？我想多数会选择解析几何吧。

isee

回复 10# hbghlyj


注意：直线被双曲线及其渐近线所载的线段相等，如FP=BD