$g(x)=e^x+\sin x+\cos x\geqslant 2+ax$

isee

其实就是八考联考的导数第（2）问：

若$g(x)=e^x+\sin x+\cos x\geqslant 2+ax$，求$a$的范围.


个人变形为$G(x)=(2+ax-\sin x-\cos x)\mathrm{e}^{-x}\leqslant 1$，$G'(x)=\mathrm{e}^{-x}(2\sin x-ax+a-2)$，能够猜出$a=2$，当$a\ne 2$要说清晰还是麻烦的，不知有没有相对讨论较少的方法呢？

坛里见过战巡利用泰勒展开式三个相当证过某个不等式，现在正在翻查中

isee

回复 1# isee

翻到一个，不过，好像得变通变通才能用，链接里是对数

战巡

回复 1# isee

$g(x)$过$(0,2)$，$2+ax$也过$(0,2)$，要想恒大于等于只能相切

facebooker

回复 1# isee


   感觉第二问要用到第一问的结论 这才是高考阶梯风格啊

烦心

f(x)=ex+sinx+cosx-ax-2，猜到a=1/2(可利用必要性探路），发现f(0)=0。只需说明当a≠1/2时，f'(0)≠0。

isee

回复 4# facebooker

第（1）问那个函数及结论其实是$g''(x)=\mathrm{e}^x-\sin x-\cos x>0,x>-5\pi/4$.
即此时$g(x)$下凸，再由3#，更佳肯定只能相切了.

isee

f(x)=ex+sinx+cosx-ax-2，猜到a=1/2(可利用必要性探路），发现f(0)=0。只需说明当a≠1/2时，f'(0)≠0。 ...
烦心 发表于 2021-1-25 20:58

在看到的公式上右键，Show Math As ,下的 ,Tex Commands ,就看到公式代码了，这种公式形式是$\mathrm\LaTeX$，如果感觉兴趣，可以瞧瞧论坛置顶帖

烦心

回复 7# isee

谢谢

isee

回复 8# 烦心

不客气