分类讨论一道变限积分

青青子衿

\begin{align*}
\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{\left(1-t\right)\left(1-kt\right)}}\mathrm{d}t
=
\frac{2}{\sqrt{k}}\ln\left(\frac{\sqrt{k\left(1-x\right)}-\sqrt{1-kx}}{\sqrt{k}-1}\right)
\end{align*}

当k<0的情况是？


积分大典
2.562

Czhang271828

直接查积分表得：

$\displaystyle
\int\frac{dx}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}=\frac{1}{\sqrt{-a}}\sin^{-1}\frac{-2ax-b}{\sqrt{b^{2}-4ac}},\quad a<0
$

青青子衿

再Mark一个
\begin{align*}
\int_{0}^{x}\frac{{\mathrm{d}}t}{\left(1-At^{2}\right)\sqrt{1-Bt^{2}}}=
\frac{1}{\sqrt{A-B}}\operatorname{arctanh}\left(\frac{\sqrt{A-B}x}{\sqrt{1-Bx^{2}}}\right)
\end{align*}
A^2>B^2