一道周期函数构造题

Czhang271828

设 $f:\mathbb R\to[0,2)$ 为连续周期函数。同时记$a_n=\lfloor f(n)\rfloor$。试问对任意0-1数列$\{a_n\}$，都是否有相应的函数$f$存在？求构造或反例。

zhcosin

假定这函数周期为$T$，那么它必须满足一个条件，那就是由 $n=mT+r_n(m\inZ,0\leqslant r_n < T)$ 确定的序列 $\{r_n\}$ 没有重复项。这个不难，例如当 $T$ 是无理数的时候，这就成立了，若不然，假如有 $r_n=r_n'$，那么必然有 $n-n'=(m-m')T$，从而只能 $m=m'$ 进而 $n=n'$. 所以符合条件的 $T$ 是必然存在的。
如果题目中没有要求这函数 $f$ 连续，那么就到此为止了，现在诸 $r_n$ 皆位于 $[0,T)$ 区间内且互不相等，只要规定 $f(r_n)=f(n)=a_n$ 就万事大吉。可惜的是题目中还要求了 $f$ 的连续性，那么就还需要满足一个条件，即针对 $\{r_n\}$ 的任一收敛子列， $ f(r_n) $ 在该子列上也必须收敛且等于收敛点处的函数值。这可就不一定了，因为对于这个子列来说，对应的那些 $a_n$ 的子列并不一定收敛，因而也就不能保证对应的 $ f(r_n) $ 收敛了。

Czhang271828

找到反例了。比如数列$\{0,1,1,\ldots,1,1,\ldots\}$，可以不失一般性地令$a_0=0$，$a_1=a_2=\cdots =1$。

证明：显然周期$T$是无理数。构造映射$\pi:\mathbb R\to [0,T),x\mapsto x-T\lfloor\dfrac{x}{T}\rfloor$，则
$$f(\mathbb N^*)=f\circ\pi(\mathbb N^*)\in[1,2)$$
再由$\pi(\mathbb N^*)$在$(0,T)$中稠密与$f$的连续性知：
$$f(0)\in f([0,T))=f(\overline{\pi(\mathbb N^*)})\subseteq\overline{f(\pi(\mathbb N^*))}=\overline{f(\mathbb N^*)}\subseteq[1,2]$$
矛盾。
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若将数列替换为$\{1,0,0,\ldots\}$，显然是能构造出$f$的（因为下取整函数是右连续而左间断的）。如构造$f:x\mapsto 1-x(\sqrt2-x)$，$x\in[0,\sqrt2)$，周期$T=\sqrt 2$。

现在的新问题是：如何判断对哪些数列能构造出$f$？

观察函数$f=0.9\sin(kx)+1$，当$k$取遍$\mathbb R/\mathbb Q$时生成的数列互不相同。由于$\mathbb R/\mathbb Q$不可数，故能够够造出的数列是不可数的。而无法构造出的数列也至少是可数的（不知是否不可数？）。

Czhang271828

找到反例了。比如数列$\{0,1,1,\ldots,1,1,\ldots\}$，可以不失一般性地令$a_0=0$，$a_1=a_2=\cdots =1$。
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Czhang271828 发表于 2021-1-28 14:50

个人猜想是：数列无法构造的必要条件是在某项后有循环节（因而可数），反之可以用某种逼近的方式构造出周期$T$。