x+y=3求最小值

realnumber

已知x,y为实数，且x+y=3,求以下表达式的最小值
\[ \sqrt{x^2+1}+2\sqrt{y^2+4}.\]
y=3-x替换掉y后可用导数或光线折射求解，有没有用均值不等式或柯西不等式等凑一个的办法啊,x=2,y=1

kuing

参考 forum.php?mod=viewthread&tid=6755

realnumber

参考
kuing 发表于 2021-3-2 13:51

嗯，会了 ，谢谢

其妙

回复 1# realnumber
楼主题目的解答：
$\sqrt {{x^2} + 1}  + 2\sqrt {{y^2} + 4}  = \sqrt {({x^2} + 1)(\dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{5})}  + \sqrt {({y^2} + 4)(\dfrac{4}{5} + \dfrac{{16}}{5})}  \geqslant \dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{{2y + 8}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{2(x + y) + 9}}{{\sqrt 5 }} = 3\sqrt 5 $

这道类似题在当年的人教论坛我发过解答（大约在2008年到2011年之间吧，记得不清了，用户名yes94），原题是一个网友提出的问题“求函数$y = \sqrt {{x^2} + 4}  + 3\sqrt {{{(7 - x)}^2} + 9} (0 < x < 7)$ 的最小值，不要用导数”，可惜的是人教论坛已经关闭几年了。解答方法是一样的，用柯西不等式。
对不等式喜爱的爱好者们可以加这个qq群“不等式欣赏研究群”，群号码为305078297，这是不等式爱好者们的乐园，会欣赏到不少优美不等式。

敬畏数学

回复 4# 其妙
这个确实有点晕！

其妙

回复  其妙
这个确实有点晕！
敬畏数学 发表于 2021-3-10 11:28

有啥晕的？可加入“不等式欣赏研究群”，群号码为305078297。

再来一种解法！由闵可夫斯基和柯西不等式，

$\sqrt {{x^2} + 1}  + 2\sqrt {{y^2} + 4}  = \sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{4^2} + {{(2y)}^2}}$

$\geqslant \sqrt {{{(x + 4)}^2} + {{(1 + 2y)}^2}}{\text{ = }}\sqrt {[{{(x + 4)}^2} + {{(1 + 2y)}^2}](\dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{5})} $

$ \geqslant \dfrac{{2(x + 4)}}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{{1 + 2y}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{2x + 2y + 9}}{{\sqrt 5 }} = 3\sqrt 5.  $