两零点证$x_1x_2>1/a$

isee

已知$f(x)=\mathrm e^{x-1}-ax$，$a\in \mathrm R$，在区间$(0,2)$上有两个不同的零点$x_1$，$x_2$．
(1) 求实数$a$的取值范围；
(2) 求证：$x_1x_2>\frac 1a$.

(1)好办，$a\in (1,e/2)$.

(2) 按f(x)的极值点，可以求得$$x_1+x_2<2+2\ln a,$$

由对数均值不等式易得$$x_1+x_2>2,$$

而题中的需要证明的不等式，正好是这两临界点的均值$$x_1+x_2>2+\ln a,$$

这是巧合，还是必然？

isee

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(2)的证明可以参考链接中的5#附件 ，似乎是极值点偏移的另一个方向~

其妙

这里有极值点偏移问题的各种方法总结（一题多解），或许有点用处：一道极值点偏移问题的多解（f(x)=(1-1/x)lnx、和积对称构造、桥函数构造、增量法、对数基本不等式等），点击链接：mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIxMDYxMDMxOQ==& … 06&lang=zh_CN#rd

isee

回复 3# 其妙

你整理的呀？

其妙

回复  其妙

你整理的呀？
isee 发表于 2021-3-8 23:49

，你关注这个公众号没有（“数学解题之路”）？最为核心关键是文末有kuing大神的解法和推广！

isee

回复 5# 其妙

sorry  没这习惯