绍兴市2020年4月17题含绝对的最值

realnumber

17.已知$a,b\in R$,设函数$f(x)=2\abs{\sin{x}+a}+\abs{\cos{2x}+\sin{x}+b}$的最大值为G(a,b),则G(a,b)的最小值为______.


令$t=\sin{x} \in$[-1,1]
$h(t)=y=f(x)=2\abs{a+t}+\abs{2t^2-t-1-b}$
$y_{max}=max\{ h(1),h(-1),h(-0.25),h(0.75)\}$,后面不会了，太琐碎了，不知道怎么做下去.


用几何画板猜测的结果是$\frac{49}{16}$,在$2a+b=\frac{15}{16}，-0.25\le a\le 0.5 $取到最小

kuing

想起了这帖 forum.php?mod=viewthread&tid=7209

kuing

回复 2# kuing

当然楼主这题比那边简单多了
`2G(a,b)\geqslant h(3/4)+h(-1)=2|a+3/4|+|5/8+b|+2|1-a|+|2-b|\geqslant 2|3/4+1|+|5/8+2|=49/8`
验证取等就不写了……反正你会画图画正方形啥的就知道结果是这样