分圆多项式在有理数域上不可约

Czhang271828

The minimal polynomial ($\mathbb Q$) of $\zeta_n$ is $\Phi_n$.

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hbghlyj

5.求证: $\Phi_n(x)$ 系数全为正 $\Leftrightarrow n=p^l$，其中 $p$ 是素数， $l \in \mathbb{N}^*$.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2021-6-16 08:28
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我们必须从半群谈起：半群由集合$S$和一个二元运算$\ast$构成，满足封闭性：$\forall x,y\in S:x\ast y\in S$。

补充: $*$ 满足结合律.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2021-6-16 08:28
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单位根是本原根，若且仅若每个根的阶为$\varphi(360)=\varphi(8)\varphi(9)\varphi(5)=\color{#f00}{2^3}\cdot 3\cdot 4$。

这里$\varphi(8)=4$.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2021-6-16 08:28
回复 20# abababa
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$(1,2)$和$(1,1)$为其本原根，对应回去是$5$和$\color{red}{11}$。

$(1,1)$对应于$1$吧.
补充: WolframAlpha

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2021-6-16 08:28
回复 20# abababa
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比如$\mathbb Z_{63}^*\cong\mathbb Z_6\oplus\mathbb Z_6=(\mathbb Z_2)^2\oplus\color{red}{(\mathbb Z_2)^3}$。从而$63$无原根。

红色部分似乎应该是$(\mathbb Z_3)^2$.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2022-2-20 16:03
回复 37# hbghlyj

不客气, 交换图标直接可于此处直接生成. 码字前加花括号 $\{\}$ 以规避乱码, 推荐 F12  ...

交换图表tikzcd也可以使用本论坛的i.upmath.me插入:

怎么和35#不太一样我看下