这道题有巧解吗？

longma

如图,在△ABC中,AB=c, ∠A=$α$ (30°$<α<$45°), ∠C=90°,边AC的中点为M,边AB上的点P(不是AB的中点)满足PC=$\frac c2$,PC与BM的交点为D,则CD的长为      (用c,a表示)

longma

自问自答，也许这是出题的本意解法？

这是2021年4月18日上海高中数学竞赛第8题，填空最后一题。

kuing

由圆幂定理有
\[BP\cdot BE=BC^2-r^2\iff BP\cdot\frac c2=c^2\sin^2\alpha-\frac{c^2}4\iff BP=2c\sin^2\alpha-\frac c2,\]由梅氏定理有
\[\frac{CD}{DP}\cdot\frac{PB}{BA}\cdot\frac{AM}{MC}=1\iff\frac{CD}{\frac c2-CD}\left(2\sin^2\alpha-\frac12\right)=1\iff CD=\frac c{1+4\sin^2\alpha}.\]

longma

酷版，求BP无须用圆幂定理哈，但作为竞赛考“美你老师”定理倒应该是本意！
酷版出手，不同凡响！

kuing

回复 4# longma

写起来简单就好，实际上这里梅氏定理也很容易绕过：
过 P 作 AC 的平行线交 BM 于 Q，则 `BP:BA=PQ:AM=PQ:CM=PD:DC`。

乌贼

作C点在AB上垂足F，先求出BP长度。取CP中点E，两三角形相似可求出DP长度即可。

乌贼

回复 6# 乌贼
或在三角形BPC中由余弦定理求出BP（取小值），再相似求DP

kuing

回复 7# 乌贼

好久没见

hbghlyj

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