球面上$n$点距离相等，$n$最大是多少？

abababa

如题，给定一个球面，在表面上给出$n$个点，并且这$n$个点两两之间的距离相等，问$n$最大是几。这里的距离指的是大圆距离。
凭感觉猜就是正四面体的顶点，$n=4$，但怎么证明呢？

realnumber

大圆距离相等,可得线段距离相等,那就n=4

abababa

回复 2# realnumber

原来如此，我之前一直在想通过$n=4$怎么证明$n\ge5$时不可能，但我没想到$n=4$的唯一性，从唯一性出发就能证明了。
当$n=3$时，为了确保两两距离相等，必须是等边三角形，当$n=4$时，除了保证$n=3$时的等边三角形，还必须保证第四点到三角形顶点的距离相等，所以第四点必须在过等边三角形中心，垂直于三角形平面的直线上，因此必须是正四面体，正四面体的中心到各顶点距离相等。为了使第四点也在球面上，必须是正四面体的中心到四个在球面上的点的距离相等，所以中心和球心重合，这样就得到旋转后重合的唯一的一个正四面体。假设有$n\ge5$，则必存在第五点，同样第五点也必须在过正三角形中心的那条垂直线上，但直线与球面至多有两个交点，其中一个已经被四面体占用，只能选择另一个，而添加上这另一个点，不能满足五点两两距离相等，所以至多是$n=4$。

Czhang271828

推广一下: $S^n(\subset \mathbb R^{n+1})$ 上两两距离相等的点数量最多为?

设 $q_1,q_2,\ldots,q_k$ 为 $\mathbb R^{n+1}$ 上的单位向量, 从而 $\mathrm{rank}(q_1,\ldots, q_k)\leq n+1$. 由两两距离相等知 $\left< q_i,q_j\right>$ 为定值 $\alpha\in[-1,1)$. 从而
$$
(q_1\mid q_2\mid\cdots\mid q_k)^T\cdot (q_1\mid q_2\mid\cdots\mid q_k)= \alpha J+(1-\alpha) I.
$$
其中 $J$ 为全一矩阵, $J$ 为单位矩阵. 注意到 $\mathrm{rank}(\alpha J+(1-\alpha)I)\leq n+1$, 从而为使 $k$ 尽可能大, 显然只能有 $k=n+1$, $\alpha=-\dfrac{1}{n}$.

综上, $S^n$ 上两两距离相等点的数量至多为 $n+1$, 夹角 $\pi-\arccos \dfrac{1}{n}$.