一道积分收敛证明征解题

Czhang271828

设$f$为$[0,\infty)$上的连续可微函数，同时$f(0) >0$、$f'(x) >0$。若
\[ \int_0^\infty\dfrac{\mathrm dx}{f'+f}<\infty \]
求证
\[ \int_0^\infty\dfrac{\mathrm dx}{f}<\infty \]

abababa

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发网友的解答：
$f'(x)>0$说明$f(x)$是增函数，所以$f(x) \ge f(0) > 0$，即在积分区间上$f(x)$是正的，还有$\frac{1}{f(x)} \le \frac{1}{f(0)}$，当$x \to \infty$时也有$\frac{1}{f(x)} \le \frac{1}{f(0)}$有界。
\[\int_{0}^{\infty}\frac{1}{f}dx-\int_{0}^{\infty}\frac{1}{f'+f}dx = \int_{0}^{\infty}\frac{f'}{f^2+ff'}dx \le \int_{0}^{\infty}\frac{f'}{f^2}dx = [-\frac{1}{f}]_{0}^{\infty} < \frac{1}{f(0)}\]
移项就知道可积了。

Czhang271828

技巧性很棒，谢谢！

青青子衿

回复 1# Czhang271828
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