一道立体几何题

hjfmhh

kuing

图2呢？

facebooker

hjfmhh

回复 2# kuing

漏了，见三楼

kuing

首先抛开翻折，设 Γ 为过 BC 的任一平面，则点 A 在 Γ 上的投影 O 都会在定圆上，该圆以 AM 为直径，且所在平面垂直于 BC，所以选项 A 是无论如何都正确。

至于 O 的轨迹能不能取遍整个圆，就取决于 Γ 与平面 ABC 所成角的范围。

回到翻折来看，现在 Γ 是由 B' 确定的，设二面角 B'-DC-A 为 β。

考虑极端情形，当 D 无限接近 B 和 C 时，不难想象 β 趋向 0 和 180°（如果想象不出，也可以用三面角余弦定理证明 `\cos\beta=\cot\angle BDA`），这样 O 应该能取遍除了 A 之外的圆，所以选项 B 是正确的，至于选项 D，呃，少一个点的圆，算不算圆弧？？

选项 C，当 D 移到 M 的右边时那两个角都是锐角，所以 C 一定错。

hjfmhh

当D在BM上时，由线面角最小性，两角和是小于180度，
但D在CM上时，很难说明两角和到底是大于还是小于180度

kuing

回复 6# hjfmhh

……我是说 D 在 MC 上时 `\angle AMO`、`\angle ADB` 都是锐角……这不显然？

hjfmhh

怎么说明角ADB'是锐角？
另外请教一下

hjfmhh

回复 8# hjfmhh
看到三角形DEB'是直角三角形了

hjfmhh

回复 5# kuing
三面角余弦定理怎么证明那个式子的，能详细点吗？谢谢

kuing

回复 10# hjfmhh

套公式而已啊，百度一下三面角余弦定理，我没空写……

乌贼

如图：

$ \angle AOB=\angle AOC=90\du  $，所以有\[ ON=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{\sqrt{2}}{2}  \]且点$ O $都在以$ AB、AC $为直径的球面上，即在以$ AM $为直径且垂直于平面$ ABC $的园上。故$ ABD $正确，$ C $错误（举一反例即可）。

kuing

回复 5# kuing

才发现当年也讨论过一回：forum.php?mod=viewthread&tid=4582
那时我还画立体图，现在懒了，只画俯视图……

当年我也问同样的问题：

这样就可以肯定 B 是正确的，但 D 呢？挖掉一个点的圆算不算“圆弧”？我还真不清楚喔，你们说哩？