关于内切圆的六道题和一道欧拉线有关的题

乌贼

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内切圆自级，不懂。高等几何？该不是高等几何习题吧

hbghlyj

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数学竞赛的应用见Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads第180页


Brocard定理:如果PQR关于圆O的自极三角形,则O是PQR的垂心
也载于近代欧氏几何学第143节，

The altitudes of a self-conjugate triangle pass through the center of the circle
三角形为固定时，这个圆的集合是外接圆，九点圆的共轴圆组，特别地，三角形关于极圆自极。
也可见其他的参考资料：抛物线的准线通过切线三角形的垂心​。
users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Autopolar.html
Coxeter, H. S. M. "The Polar Triangle and the Orthocentre.
proofwiki.org/wiki/Orthocenter_of_Self-Conjugate_Triangle
自极三角形
kuing的题集中也有提到

乌贼

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原来$ PA，PB $为圆$ O $的两割线，$ Q $为$ AB $与$ CD $的交点，$ H $为$ BC $与$ AD $交点。则$ \triangle POQ $为圆$ O $的自极三角形，且$ H $为$ \triangle POQ $的垂心。这就是Brocard定理。但还是证不来……还知道$ B，C $两点切线交点在$ PQ $上。

hbghlyj

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由极线的基本性质，Q的极线是PH，所以PH垂直于OQ，同理QH垂直于OP

hbghlyj

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△POQ不是圆O的自极三角形，是△PQH

乌贼

wenku.baidu.com/view/5a2480a7d1d233d4b14e8524 … 8fb770bf78a3b8e.html

乌贼

有密克尔点提示，初等证明不难。

如图：$ A $为圆$ O $外一点，割线$ AB，AC $分别交圆于$ D，E $，$ F $为$ DC $与$ BE $
的交点。$ BC $与$ DE $的延长延长线交于$ N $点。求证$ AF\perp ON $；  $ AO\perp NF $。
证明：连接$ ON $，作$ \triangle BCO $外接圆交$ ON $于点$ M $，由\[ NE\cdot ND=NC\cdot NB=NM\cdot NO \]知$ DEMO $四点共圆。又\[ \angle DMO=\angle DEO=\angle EDO=\angle EMN\\\angle NMC=\angle OBC=\angle OCB=\angle OMB \]所以\[ \angle DMB=\angle EMC=\dfrac{1}{2}(\angle DOB+\angle EOC)=\angle DCB+\angle EBC=\angle DFB=\angle EFC\]即$ DFMB $四点共圆和$ EFMC $四点共圆。因此\[ \angle MEC=\angle MFC=\angle DBM \]也就是$ MEAB $四点共圆。得\[ \angle AMB=\angle AEB=\angle ADF=\angle FMB \]即$ AFM $三点共线。又\[ \angle DMF=\angle DBE=\angle DCE=\angle EMF \]综上有\[ \angle AMO=\angle AMN\\\riff AF\perp ON \]同理\[ AO\perp NF \]

hbghlyj

乌贼 发表于 2021-6-17 17:23
高中数学竞赛解题策略-几何分册第32章勃罗卡定理

本文档是从书中复制的，推荐阅读原书。