一个二次除四次的有理函数的最大值

郝酒

$y=\frac{t^2+5t+1}{(t^2+1)^2}$
有没有不借助导数，稍微自然点的方法

kuing

令 `t=\tan(x/2)`，则
\begin{align*}
\frac1{1+t^2}&=\frac{\cos x+1}2,\\
\frac t{1+t^2}&=\frac12\sin x,
\end{align*}故
\begin{align*}
y&=\frac1{1+t^2}\left( \frac{5t}{t^2+1}+1 \right)\\
&=\frac{\cos x+1}2\left( \frac52\sin x+1 \right)\\
&=\frac{12}5-\frac5{16}\left( \sin x+\cos x-\frac75 \right)^2-\frac{15}{16}\left( \sin x-\cos x-\frac15 \right)^2\\
&\leqslant\frac{12}5,
\end{align*}当 `\sin x=0.8`, `\cos x=0.6` 时取等。

（我是故意的）

isee

回复 2# kuing


擦，万能公式上场了

我求导了，导函数，三次的零点，有因式2x-1

kuing

回复 3# isee

又更新了一下，来个更装B的恒等式刚才均值什么的扔掉

kuing

回复 3# isee

你看人教群就知道，其实楼主就是从三角用万能公式变过来的。
楼主想要一般的步骤、自然的方法，但他明知这种题本质涉高次方程，能做的都是经过设计数据的，由难度守恒，任何“一般的步骤”最终都要解该方程，所以论自然，求导才是最自然。
所以我一直不理这帖，直到刚才闲着无聊，不如就把它变回去，顺便搞个装逼解法逗一下

isee

回复 5# kuing

哈哈哈哈哈，楼主把导数咔嚓了，人来的本来就少，能想出其他方式的估计也就你这样不局一格的，我们一般是搞不定的~

kuing

回复 6# isee

待定系数均值可以玩玩。

将分母展开，待定正数 `a`, `b`，写成
\[(t^2+1)^2=t^4+2t^2+1=t^4+a\cdot k^2t^2+b\cdot k^4+(2-ak^2)t^2+1-bk^4,\]期望用加权均值使得 `t^4+a\cdot k^2t^2+b\cdot k^4\geqslant(1+a+b)k^3t`，考察 `t` 的次数，显然应满足 `4+2a=1+a+b`，即 `b=a+3`，于是得到
\[t^4+a\cdot k^2t^2+(a+3)\cdot k^4\geqslant(2a+4)k^3t,\]代回上面去，即有
\[(t^2+1)^2\geqslant(2-ak^2)t^2+(2a+4)k^3t+1-(a+3)k^4,\]那么为了能与分子约起来，系数比就应满足
\[(2-ak^2):(2a+4)k^3:\bigl( 1-(a+3)k^4 \bigr)=1:5:1,\]消 `a`，由
\begin{align*}
5(2-ak^2)=(2a+4)k^3&\riff a=-\frac{2(2k^3-5)}{k^2(2k+5)},\\
2-ak^2=1-(a+3)k^4&\riff a=-\frac{3k^4+1}{k^2(k^2-1)},
\end{align*}所以
\[2(2k^3-5)(k^2-1)=(2k+5)(3k^4+1),\]然后假装没有软件纯手工展开分组分解
\begin{gather*}
2k^5+15k^4+4k^3+10k^2+2k-5=0,\\
(2k^5+4k^3+2k)+(15k^4+10k^2-5)=0,\\
2k(k^2+1)^2+5(3k^2-1)(k^2+1)=0,\\
2k(k^2+1)+5(3k^2-1)=0,\\
2k^3+15k^2+2k-5=0,
\end{gather*}（守恒出现鸟，事实上原式的导数就是 `y'=-\frac{2t^3+15t^2+2t-5}{(t^2+1)^3}`）

不继续写分解了，直接假装观察出 `k=1/2` 是根吧，此时 `a=19/3`，代回上面，得到“流畅过程”如下：

由均值不等式，有
\begin{align*}
(t^2+1)^2&=\frac13\left( 3\cdot t^4+19\cdot\frac{t^2}{2^2}+28\cdot\frac1{2^4} \right)+\frac5{12}t^2+\frac5{12}\\
&\geqslant\frac13\cdot50\cdot\sqrt[{50}]{\frac{t^{3\times4+19\times2}}{2^{19\times2+28\times4}}}+\frac5{12}t^2+\frac5{12}\\
&=\frac{25}{12}t+\frac5{12}t^2+\frac5{12}\\
&=\frac5{12}(t^2+5t+1),
\end{align*}所以 `y\leqslant12/5`，当 `t=1/2` 取等。

郝酒

谢谢ku版临幸。
其实我并没有“明知道”，因为圆锥曲线里经常会碰到这种有理式的最值，有双换元之类的方法。
就想问下有没有可操作待定系数的办法。
也就是说，即时能待定系数，最后也会得到同样的方程哈？

kuing

回复 8# 郝酒

那天在群里我发的链接，你不是说之前看过吗，所以我认为你是知道的。
上面的待定系数你看得懂吗？