复特征向量的小题

青青子衿

已知矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}
-1&1&-1\\
3&1&2\\
0&-2&1
\end{pmatrix}$，求复可逆矩阵$\boldsymbol{P}$使得$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{\Lambda}$，其中$\boldsymbol{\Lambda}$为对角矩阵.

abababa

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就按正常的求特征值和特征向量就行了吧，特征值$-1$对应特征向量$(-4,-1,-1)^T$，$1+i$对应$(3,i,-i)^T$，$1-i$对应$(3,2,2)^T$，排成矩阵就出来了吧。发现开始还把方向弄反了。

青青子衿

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就按正常的求特征值和特征向量就行了吧，特征值$-1$对应特征向量$(-4,-1,-1)^T$，$1+i$对应$(3,i,-i)^T$，$1-i$对应$(3,2,2)^T$，排成矩阵就出来了吧。发现开始还把方向弄反了。
abababa 发表于 2021-8-1 10:24

那么说$\boldsymbol{P}=
\begin{pmatrix}
-4 & 3 & 3 \\
-1 & i & 2 \\
-1 & -i & 2 \\
\end{pmatrix}$咯，那你得出的$\,\boldsymbol{P}\,$能将$\,\boldsymbol{A}\,$对角化吗？
我用MMA把它们仨乘起来得到的不是对角矩阵呀.

1. A={{-1, 1, -1}, {3, 1, 2}, {0, -2, 1}};
2. P={{-4, 3, 3}, {-1, I, 2}, {-1, -I, 2}};
3. Inverse[P].A.P//MatrixForm

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abababa

回复 3# 青青子衿

我明白了，原来我开始写的是对的，因为不想打那个竖的向量，然后就弄错了。
对应的特征向量应该是$(-4,3,3),(-1,i,2),(-1,-i,2)$这三个，也就是3楼的$P$转置一下就好了。这回应该是对的了吧。

青青子衿

回复 4# abababa
照上面的情况看，你应该是软件算的吧？你好像并没有手算
然而，我发现手算的话，用化单位1的方法计算，有的地方计算量有点大，就想看看有没有巧妙的方法

abababa

回复 5# 青青子衿

是的，解特征方程和求特征向量时都用软件算的。

青青子衿

回复 6# abababa
网友给了一个比较巧妙的求解过程，过程中几乎没用除法