一眼看尽`\cos m-\cos n`与`m-n`大小

isee

若`m<n`，比较`\cos m-\cos n`与`m-n`大小.

isee

作差\[\cos m-\cos n-m+n=\cos m-m-(\cos n-n),\]构造函数`f(x)=\cos x-x`，`f'(x)=-\sin x-1\leqslant 0`，即`f'(x)`是单调递减的.

于是`m<n\iff \cos m-m>\cos n-n \iff \cos m-\cos n>m-n`.

kuing

还以为你会用和差化积……
\begin{align*}
\cos m-\cos n&=-2\sin\frac{m+n}2\sin\frac{m-n}2\\
&\geqslant-2\left| \sin\frac{m+n}2\sin\frac{m-n}2 \right|\\
&\geqslant-2\left| \sin\frac{m-n}2 \right|\\
&>-2\left| \frac{m-n}2 \right|\\
&=m-n.
\end{align*}

aquae

不等号方向都反了······

kuing

回复 4# aquae

没反啊

战巡

回复 1# isee

\[|\frac{\cos(m)-\cos(n)}{m-n}|=|\sin(\xi)|\le 1\]
其中$\xi\in (m,n)$

kuing

回复 6# 战巡

右边取不了等号。

用拉格朗就要注意这一点，见：forum.php?mod=viewthread&tid=3166

战巡

回复 7# kuing


我知道啊，只不过懒得写

kuing