柯西数列的子数列收敛，则柯西数列也收敛。

abababa

设$\{x_n\}$是柯西数列，根据柯西数列的定义，对任意的$\varepsilon>0$都存在$N$，使得只要$m,n>N$就有$\abs{x_n-x_m}<\varepsilon$。
设子数列$\{x_{n_k}\}$收敛到$x$，根据收敛的定义，对$\varepsilon>0$存在$K$，使得只要$k>K$就有$\abs{x_{n_k}-x}<\varepsilon$。
令$M=\max(N,K)$，后面我想用$\abs{x_n-x}\le\abs{x_n-x_{n_k}}+\abs{x_{n_k}-x}<\varepsilon+\varepsilon$推出收敛来。

但是怎么才能让下标满足条件呢？比如当$n>M$时，要有$n>N,n_k>N$，这样才能用第一个不等式，还要有$n_k>K$，这样才能用第二个不等式。$n>M\ge N$是显然的，但$n_k>N$要怎么说明呢？还有$n_k>K$要怎么说明呢？

abababa

回复 1# abababa

我有点明白了，第一个脚标选择$k$就好了，其它的一样，当$k>M$时，有$k>K$，所以有$\abs{x_{n_k},x}<\varepsilon$，当$k>M$时，还有$k>N$和$n_k\ge k>N$，所以也有$\abs{x_k-x_{n_k}}<\varepsilon$，于是当$k>M$时就有
\[\abs{x_k-x}\le\abs{x_k-x_{n_k}}+\abs{x_{n_k}-x}<2\varepsilon\]
这样就证明了收敛，关键是把$\abs{x_n-x}$换成$\abs{x_k-x}$。