请问如何处理这种递推数列的极限

AzraeL

已知$ a_{n+1}=\sqrt{1+a_n},a_1=1 $,并且记$ l=\lim_{n\to\infty}a_n $,若存在常数$ c $使得$ t=\lim_{n\to\infty}c^n(l-a_n) $存在且不为$ 0 $,求$ c $与$ t $.

IkeJay

后面的那个还没思路，不过前面数列的极限的收敛证明和求极限大概就这样了。
写的可能不严谨谅解谅解。

先用数学归纳法证 $a_n$ 有界
\[
a_1=1<\frac{1+\sqrt{5}}{2} \quad a_2=\sqrt{2}<\frac{1+\sqrt{6}}{2}
\]
假设 $a_n<\frac{1+\sqrt{5}}{2} \quad a_{n+1}=\sqrt{1+a_n}<\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}=\sqrt{\frac{6+2 \sqrt{5}}{4}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
得证 $a_n<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

\[
\begin{aligned}
& \text { 又 } a_{n+1}-a_n=\sqrt{1+a_n}-a_n=\frac{-\left(a_n-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}}{\sqrt{1+a_n}+a_n} \\
& \text { 又 } a_n<\frac{1+\sqrt{5}}{2}
\end{aligned}
\]
得 $a_{n+1}-a_n>0 \therefore a_{n+1}>a_n$
由单调有界定理得 $a_n$ 有极限。
又由题意得
\[
a_{n+1}^2=1+a_n
\]
两边取极限 $\Rightarrow l^2=1+l$
\[
\Rightarrow l_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \quad l_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}
\]
又 $a_n>0$ 由保不等式性得
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} a_n>0 \therefore l=\frac{1+\sqrt{5}}{2}
\]

AzraeL

注意到$ \lim_{n\to\infty}a_n=l=\sqrt{1+l} $,于是有
\[ l-a_{n+1}=l-\sqrt{1+l-(l-a_n)}=l-l\sqrt{1-\frac{l-a_n}{1+l}}=l-l[1-\frac{l-a_n}{2l^2}+o(l-a_n)]=\frac{l-a_n}{2l}+o(l-a_n) \]
所以有
\[ \frac{c^{n+1}(l-a_{n+1})}{c^n(l-a_n)}=\frac c{2l}+o(1) \]
要使数列$ \{c^n(l-a_n)\} $收敛且不收敛到$ 0 $,则$ c=2l $.
目前还没找到数列$ \{c^n(l-a_n)\} $的极限$ t $的求法,由于$ l=\frac{1+\sqrt5}2 $,利用mma计算了该数列的前$ 20 $项,似乎是递增有上界的.
此题来源于一张不知名的试卷,也不排除钓鱼题的可能性.