这个求极限的过程是否正确？

isee

求极限\[\lim_{n \to  \infty}\left(\frac 1n+\mathrm e^{\frac 1n}\right)^n\]

泰勒展开 $n\to \infty ,\mathrm e^{\frac 1n} = 1+\frac 1n+o\left(\frac 1n\right)$ 于是

\begin{align*}  \lim_{n \to  \infty}\left(\frac 1n+\mathrm e^{\frac 1n}\right)^n &=\lim_{n \to  \infty}\exp \bigg(\ln\left(\frac 1n+\mathrm e^{\frac 1n}\right)^n\bigg)\\[1em]\\  &=\exp \bigg(\lim_{n \to  \infty}n\ln\left(\frac 1n+\mathrm e^{\frac 1n}\right)\bigg)\\[1em]  &=\exp \bigg(\lim_{n \to  \infty}n\ln\left(\frac 1n+1+\frac 1n+o( 1/n)\right)\bigg)\\[1em]  &=\exp \bigg(\lim_{n \to  \infty}n\ln\left(1+\frac 2n+o(1/n)\right)\bigg)\\[1em]  &=\lim_{n \to  \infty}\ln\left(1+\frac 2n\right)^{\frac n2\cdot 2}\\[1em] &=\mathrm e^2. \end{align*}

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以上过程是否正确？

kuing

应该没什么问题，不过先将指数 n 拿下来，最后又拿回去，感觉有点儿多余

kuing

我喜欢这样写，令 `1/n=x`，则
\[\text{原式}=\lim_{x\to0}(x+e^x)^{1/x}=\exp\left( \lim_{x\to0}\frac{\ln(x+e^x)}x \right)=\exp\left( \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+2x+o(x))}x \right),\]然后 `\ln(1+2x+o(x))\sim2x+o(x)`，所以
\[\cdots=\exp\left( \lim_{x\to0}\frac{2x+o(x)}x \right)=\exp(2).\]

tommywong

有得洛必達
$\displaystyle \exp\left(\lim_{n \to  \infty}n\ln\left(\frac{1}{n}+e^{\frac{1}{n}}\right)\right)
=\exp\left(\lim_{n \to  \infty}\frac{1}{1/n}\ln\left(\frac{1}{n}+e^{\frac{1}{n}}\right)\right)$

isee

应该没什么问题，不过先将指数 n 拿下来，最后又拿回去，感觉有点儿多余 ...
kuing 发表于 2021-11-3 21:36

是啊，哈哈哈哈哈


回复 3# kuing

其实就是这么思考的，只是不想打分式，当时




PS：这个评分能不能取消或增加24h次数？

isee

回复 4# tommywong

想法上，书写上更自然些