一个实数或复数的立方根有主值吗？

TSC999

例如， -1 的立方根有三个： -1、0.5 +0.866025 i 、0.5 -0.866025 i。

哪个是主值？ 有没有主值这一说法？

isee

回复 1# TSC999


复数开方没有主值之说.

复数幅角主值.

如 $\mathrm i$ 写成三角形式有无数种，其中$\cos 90^\circ+\mathrm i\sin 90^\circ$，这个 90 度就是幅角主值.


另外，复分析里，如 $\ln\mathrm i$ 也是有无数个值，取幅角那个值 $\frac {\pi}2\mathrm i$ 称主值.

isee

相应的入门

（初等数学）复数的三角形式，幅角之类的概念：doc88.com/p-31899837817457.html

（高等函数）将初等函数推广到复变函数，第33页左右是对数函数，如计算 $\ln (-1)=\mathrm\pi \mathrm i$ 这样的：doc88.com/p-5166498947266.html

TSC999

复数的立方根有三个，并没有哪个是 “主值” 的说法。但是为了便于理解，不妨自行引入 “主值” 这个概念。原因如下图。

isee

回复 4# TSC999


数学事实就在那里，至于你怎么说你开心就好。

其次 Mathematica 处理分母指数幂 我正好也碰到过，forum.php?mod=viewthread&tid=8260 只与MMA默认处理函数有关（就是复变函数）

TSC999

回复 5# isee

所以说一个实数或一个虚数的 n 次方根（n≥2）应该规定主值这个概念，就如反三角函数的主值一样。不然遇到问题就可能犯糊涂。
我有个大学同学，大学毕业都50年了，还认为负 1 的平方根是 ±i

isee

回复 6# TSC999


TSC999 看来是没有明白我主要意思了。

再啰嗦啰嗦两句吧（这两句分两楼）：

这里是第一句。

在实数范围内：$x^\alpha$，$\alpha\in\mathbb R$，要求 $x>0$。

中学里复数开方是利用复数的三角形式定义的，复数 $z=r(\cos\theta+\mathrm i\sin\theta)$ 的 $n$ 次方根为：$$\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+\mathrm i\sin\frac {\theta+2k\pi}{n}\right),k=0,1,2,3,\cdots,n-1.$$

简言之，中学里的幂指数运算，与复数的 $n$ 次方根，复数的乘方是两套不同的“系数”，形式上并不统一。

isee

这是第二句话。

在高等数学，复变函数里范围内。

对数，幂指运算在复数范围内不为零的复数 $z$，指数 $c$ 为任意复数 , $z^c$ 由$$z^c=\mathrm e^{c \ln z},$$定义。


由于 $\ln z$ 主值是 $\mathrm{Ln} \ z$，这导致复指数 $z^c=\mathrm e^{c \ln z}$ 亦有主值。

isee

题外话：可以大胆猜测，MMA 里，指数的运算，按实数规则是要底大于零的；一胆底小零，就按复变函数中的复指数 $z^c=\mathrm e^{c \ln z}$ 进行计算.

TSC999

题外话：可以大胆猜测，MMA 里，指数的运算，按实数规则是要底大于零的；一胆底小零，就按复变函数中的复指 ...
isee 发表于 2021-11-10 14:27

在 mathematica 中，无论底数 $z$ 是大于零还是小于零，$ z^c $ 都是按 $ e^{c · lnz} $ 计算的，例如：