如何证明

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设 $\triangle A B C$ 的三条高分别为 $A D, B E, C F$，$D$ 关于 $E F$ 的对称点为 $D'$，设 $O$ 和 $H$ 分别为 $\triangle A B C$ 的外心和垂心，$K$ 为 $O H$ 中点．证明：$\angle A K H=\angle A D' H$．

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法一:
    如图：
    $ G $为$ DD^1 $与$ EF $（或其延长线）的交点，由链接：forum.php?mod=viewthread&tid=14040  2楼
知\[ \angle BGD=\angle CGD \]$ AD $交圆$ O $于$ L $，$ AK、D^1H $交于$ M。 $作$ \triangle BGC $外接圆$ O_1 $，$ GD $交圆$ O_1 $于$ Q $，$ P $在$ EF $上且垂直平分$ BC $，有$ O、O_1 $均在$ PQ $上。易证$ AO $垂直$ EF $。
    得$ AOQD $为平行四边形，有\[ DH=DL \]\[ DQ=AO=OL=2DK \]\[ \angle ADK=\angle ALO=\angle OAL=\angle D^1DH \]又\[ \angle PGB=\angle PQB \]知$ BPGCQ $五点共圆，又由\[ \triangle ADB\sim \triangle CDL \]\[ \triangle CDG\sim \triangle QDB \]有\[ \edr DH\cdot DA=DL\cdot DA=BD\cdot DC=&GD\cdot DQ=\dfrac{1}{2}DD^1\cdot 2DK\\\angle ADK=&\angle D^1DH\endedr\riff\triangle DKA\sim \triangle DHD^1 \]即有$ AMDD^1 $四点共圆，有\[ \angle ADK=\angle D^1DH=\angle AMD^1 \]也就是$ KHDM $也四点共圆，故\[ \angle AKH=\angle ADM=\angle AD^1H \]

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法二
如图：
    $ AO $交圆于$ M $，$ AD $交圆于$ P $，$ PO $交$ BC $于$ N $，$ L $为$ AK $与$ D_1H $交点，$ Q $为$ EF $与$ AD $交点，$ J $为$ AD $中点，$ G $为$ EF $与$ DD_1 $交点。
   
   第一步：证明$ \triangle AQD\sim \triangle DHG $
   易知$ AO\perp EF $，有\[ \triangle ADM\sim \triangle DGQ \]又\[ \edr\angle ONM=\angle OMN=\angle DQF\\\angle OBN=\angle FDQ
\endedr\riff\triangle BON\sim \triangle DFQ\riff\dfrac{DF}{FQ}=\dfrac{BO}{ON}=\dfrac{AO}{OM} \]又$ AF $垂直平分$ \angle EFD $，有\[ \dfrac{DH}{HQ}=\dfrac{DF}{FQ}=\dfrac{AO}{OM} \]加之$ \triangle ADM\sim \triangle DGQ $，得\[ \triangle ADO\sim \triangle DGH \]
   第二步：证明$ \triangle AKD\sim \triangle D_1HD $
   易证$ HD=DP $，有\[ \edr\angle KDJ=\angle OPA=\angle OAD\\ 2DK=PO=AO
\endedr\riff\triangle DKJ\sim \triangle AOD\sim \triangle DHJ\riff\triangle AKD\sim \triangle D_1HD \]
   第三步：证明$ \angle AKH=\angle AD_1H $
   过程同上楼（略）