求证OM=ON

abababa

如图，$\triangle ABC$内接于$\odot O$，$AP$为直径，$PT$切$\odot O$于$P$交$BC$于$T$，$TO$交$AC, AB$于$M,N$，求证$OM=ON$。

kuing

《撸题集》P.700 题目 5.2.36
or forum.php?mod=viewthread&tid=1854

PS、简化了 1# 图的代码

isee

这是个经典题，主证法也比较多，链接可以算是一个专题了，如果只想要这个题的解法，除了 kuing 的两次相似，还可以两次四点共圆.

人教BBS和旧论坛都打不开了，我重新写一次吧在这里.





作 $OD \perp BC$ 于$D$，则 $D$ 为 $BC$ 中点且 $O,T,P,D$ 四点共圆.  于是$\angle OTD=\angle OPD.$

另一方面，过点 $C$ 作 $CE$ 平行于 $TN$ 交 $AP$ 于 $E$，交 $AB$ 于 $F$.  则 $\angle ECD=\angle OTD=\angle EPD,$ 从而 $E,C,P,D$ 四点共圆.  

所以 $\angle EDC=\angle EPC=\angle APC=\angle ABC,$ 所以 $DE \sslash FB$, 于是 $E$ 是 $CF$ 中点，进一步知 $O$ 为 $MN$ 中点.

isee

汗，你这个图片格式牛哇，都不会另存了

kuing

回复 4# isee

你看 TeX 区，这两天我们在整这个

isee

回复 5# kuing

算了，不依赖网络图片，本地上传够用，图片只是一交流载体罢了~

abababa

回复 3# isee

其实我知道链接里那帖，但是那帖中关于椭圆和双曲线的情况没有证明吧，结论也一样。所以我想是不是有什么射影几何的背景，能统一解决这个题的各种情况。

isee

回复 7# abababa

继续几年来我印象里是解决了的，你慢慢看，有高等证明（至少椭圆有）

abababa

回复 8# isee

我说的就是2楼链接里的9楼、10楼的那个题，看了一遍没有发现射影几何的证法，链接的链接里都是有关蝴蝶定理的一些内容，也没看出有什么联系。

kuing

回复  kuing

算了，不依赖网络图片，本地上传够用，图片只是一交流载体罢了~ ...
isee 发表于 2021-11-16 18:35

简单的图形可以考虑用它，修改也方便。
就算那网不行，也不至于丢失，毕竟代码在这儿，现在还能点击图片看代码了。