求$\int_0^{\frac {\pi}4}\cos^82x\mathrm dx$

isee

源自知乎提问

题：求 $\int_0^{\frac {\pi}4}\cos^82x\mathrm dx$.









直接算算看，次数不算高.

明显的 $\int_0^{\frac {\pi}4}\cos^82x\mathrm dx=\frac 12\int_0^{\frac {\pi}2}\cos^8t\mathrm dt,$ 下面先考察

$$\int_0^{\frac {\pi}2}\cos^8x\mathrm dx.$$

由分部积分法
\begin{align*}  \end{align*}$$\begin{align*} \int_0^{\frac {\pi}2}\cos^8x\mathrm dx&=\int_0^{\frac {\pi}2}\cos^7x\mathrm d(\sin x)\\[1em] &=\cos^7x\sin x\bigg|_{0}^{\pi/2}-\int_0^{\frac {\pi}2}\sin x\mathrm d(\cos^7x)\\[1em] &=0+7\int_0^{\frac {\pi}2}\cos^6 x\sin^2 x\mathrm dx\\[1em] &=7\int_0^{\frac {\pi}2}\cos^6 x(1-\cos^2 x)\mathrm dx\\[1em] &=7\int_0^{\frac {\pi}2}\cos^6 x-7\int_0^{\frac {\pi}2}\cos^8 x\mathrm dx\\[1em] \iff 8\int_0^{\frac {\pi}2}\cos^8x\mathrm dx&=7\int_0^{\frac {\pi}2}\cos^6 x\mathrm dx\\[1em] \color{red}{\int_0^{\frac {\pi}2}\cos^8x\mathrm dx}\ &\color{red}{=\frac 78\int_0^{\frac {\pi}2}\cos^6 x\mathrm dx}, \end{align*}

对 $\int_0^{\frac {\pi}2}\cos^6 x\mathrm dx$ 重复这一过程，进行迭代有 $\int_0^{\frac {\pi}2}\cos^6 x\mathrm dx=\frac 56\int_0^{\frac {\pi}2}\cos^4 x\mathrm dx,$ 再次迭代两次，则

\begin{align*} \color{red}{\int_0^{\frac {\pi}2}\cos^8x\mathrm dx}\ &=\frac 78\cdot \frac 56\cdot \frac 34\cdot \frac 12\int_0^{\frac {\pi}2}\mathrm dx\\[1em] &=\frac {7!!}{8!!}\cdot \frac {\pi}2. \end{align*}

从而 $\int_0^{\frac {\pi}4}\cos^82x\mathrm dx=\frac {105\pi}{1536}.$

PS：真的忘记了，这么好玩的积分~.

kuing

高数教材分部积分例题必有

AzraeL

根据$ {\rm B}(p,q)=2\int_0^{\frac{\pi}2}\cos^{2p-1}x\sin^{2q-1}x{\rm d}x $,有
\[ \int_0^{\frac{\pi}4}\cos^82x{\rm d}x=\frac12\int_0^{\frac{\pi}2}\cos^8x{\rm d}x=\frac14{\rm B}(\frac92,\frac12)=\frac{\Gamma(\frac92)\Gamma(\frac12)}{4\Gamma(5)}=\frac{7!!\pi}{4^3\cdot4!}=\frac{105\pi}{1536} \]

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源自知乎提问，题： $A$ 由 $x^{\frac 23}+y^{\frac 23}=a^{\frac 23}\ (a>0)$ 围成的面积.

$x^{\frac 23}+y^{\frac 23}=a^{\frac 23}\ (a>0)$ 的参数方程为 $$x=a\cos^3\theta,\ y=a\sin^3\theta,\ \theta\in[0,2\pi],$$ 所以

\begin{align*} A&=4\left|\int_{0}^{\frac {\pi}2}a\sin^3\theta\left(a\cos^3\theta\right)'\mathrm d\theta\right|\\[1em] &=12a^2\left|\int_{0}^{\frac {\pi}2}\sin^4\theta\left(1-\sin^2\theta\right)\mathrm d\theta\right|\\[1em] &=12a^2\left|\int_{0}^{\frac {\pi}2}\sin^4\theta\mathrm d\theta-\int_{0}^{\frac {\pi}2}\sin^6\theta\mathrm d\theta\right|\\[1em] &=12a^2\left|\frac{3!!}{4!!}\frac {\pi}2-\frac{5!!}{6!!}\frac {\pi}2\right|\\[1em] &=\frac {3\pi a^2}8. \end{align*}

其中 $$\int_0^{\frac {\pi}2}\sin^{2n}\theta\mathrm d\theta=\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot \frac {\pi}2.$$

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源自知乎提问


这里 $\int \tan ^nx\mathrm dx$ 也可以有递推式：

\begin{align*} I_n=\int\tan^nx\mathrm dx &=\int\tan^{n-2}(\tan^2x+1-1)\mathrm dx\\[1em] &=\int\tan^{n-2}\sec^2x\mathrm dx-I_{n-2}\\[1em] &=\int\tan^{n-2}\mathrm d\tan x-I_{n-2}\\[1em] &=\frac {1}{n-1}\tan^{n-1}x-I_{n-2} \end{align*}

然后就好处理了……