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Last edited by isee 2022-3-26 23:48源自知乎提问
题不难，只是从 这个积分从左到右这一步是如何变过去的？ 这个帖子想起了，我曾经未完全解决的一个积分问题.
回头想了想，可以直接解
题：求 $a,b$ 的值，使椭圆 $x=a\cos t,$ $y=b\sin t$ 的周长等于正弦曲线 $y=\sin x$ 在 $0\leqslant x\leqslant 2\pi$ (上一段的长.)
由弧长积分公式，易得等式 $\int_{0}^{2\pi}\sqrt {a^2\sin^2 t+b^2\cos^2t}\mathrm dt=\int_{0}^{2\pi}\sqrt {1+\cos^2t}\mathrm dt,$ 于是
\begin{align*} a^2\sin^2 t+b^2\cos^2t&=1+\cos^2t\\[1em] a^2\sin^2 t+(b^2-1)\cos^2t&=1\\[1em] \Leftarrow \ a^2=b^2-1&=1, \end{align*}
此时 $\sqrt 2=b>a=1$ 即焦点在 $y$ 轴上的椭圆；显然焦点在 $x$ 轴上的椭圆，即 $1=b<a=\sqrt 2$ 时，亦满足题设. $\quad \square $
也明白了“恒等变换”方式——周期！
忘了显然的若 $f(x)$ 的周期为 $\color{red}T$ 则 $\color{blue}{\int_a^{a+T}f(x)\mathrm dx=\int_0^{T}f(x)\mathrm dx},$ “太”关心“换元”了.
回到题主所问
注意 $\color{red}{2\pi}$ 是函数 $y=\sqrt {2-\cos^2 x}$ 的周期.
\begin{align*} \int_{0}^{2\pi}\sqrt {1+\cos^2t}\mathrm dt&=\int_{0}^{2\pi}\sqrt {2-\sin^2t}\mathrm dt\\[1em] &=-\int_{\frac {\pi}2}^{-\frac {3\pi}2}\sqrt {2-\sin^2\left(\frac {\pi}2-t\right)}\mathrm dt\qquad \rightarrow\quad \text{换元}\\[1em] &=\int_{-\frac {3\pi}2}^{\frac {\pi}2}\sqrt {2-\cos^2 t}\mathrm dt\\[1em] &=\int_{-\frac {3\pi}2}^{-\frac {3\pi}2+\color{red}{2\pi}}\sqrt {2-\cos^2 t}\mathrm dt\\[1em] &=\int_{0}^{2\pi}\sqrt {2-\cos^2 t}\mathrm dt.\end{align*}
终于了了这个心结. |
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