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源自知乎提问 PS：智者千虑，必有一失.
原题是错题，不过，此题稍改一下，也是不错的一道题：
在 $\triangle ABC$ 中有 $AB=2\sqrt 2$ 且 $\tan A+\tan B=\frac{\sqrt 2}2,$ 求 $\triangle ABC$ 面积最大值.
$\frac {\sqrt 2}2=\tan A+\tan B=\frac {\sin (A+B)}{\cos A\cos B}>0,$ 所以 $A,B\in \left(0,\frac {\pi}2\right),$ 于是 $AB$ 边上的高线 $CD$ 在三角形 $ABC$ 内，即垂足点 $D$ 在 $AB$ 边上.
记 $CD=h,\ AD=x,\ BD=y, $ 则 $x+y=2\sqrt 2,$ 于是条件可化为
$$\frac {\sqrt 2}2=\tan A+\tan B=\frac hx+\frac hy\geqslant \frac {(\sqrt h \cdot 2)^2}{x+y}=\frac {2h}{\sqrt 2},$$
于是 $$h\leqslant \frac 12,$$
所以 $$S_{\triangle ABC}=\frac 12\cdot AB\cdot h\leqslant \frac 12\cdot 2\sqrt 2\cdot \frac 12=\frac {\sqrt 2}2.$$
这种构造柯西不等算是此类问题最简入手点了，如知乎的面积最小(由于 kuing 解决，故其几何帖集中亦有)，本论坛的面积与边的平方比最小 |
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