连续函数f(x)当x→±∞时极限为∞,则f(x)有下界

hbghlyj

if $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ is continuous and $f(x) \rightarrow+\infty$ as $x \rightarrow \pm \infty$ then there exists some $x_{0} \in \mathbb{R}$ such that $f(x) \geq f\left(x_{0}\right)$ for all $x \in \mathbb{R}$.

战巡

回复 1# hbghlyj


假设没有下限，那么必然存在至少一点$x_1\ne\pm\infty$使得$\lim_{x\to x_1}=-\infty$，那这个函数在$x_1$处就不连续了

hbghlyj

回复 3# 战巡
我也是这样想的.如何说明存在一点$x_1\ne\pm\infty$使$\lim_{x\to x_1}=-\infty$呢

Czhang271828

记 $M$ 为 $f$ 在 $[-1,1]$ 上的最小值, 由 $\lim_{x\to\infty} f(x)=+\infty$ 可知存在 $N>0$ 使得对任意的 $|x|>N$ 均有 $f(x)>M+1$.

因此 $f(x)$ 的最小值即 $f$ 在 $[-N,N]$ 上的最小值.

hbghlyj

回复 6# Czhang271828 哦哦原来这样....怪不得原题提示说用闭区间那个谢谢

zhcosin

简单得很呢，直接上定义，取定一个非常大的正实数$M$，存在另一正实数 $m$，使得当 $|x|>m$时恒有 $f(x)>M$，也就是函数在 $(-\infty,-m)$ 和 $(m,+\infty)$上都成立 $f(x)>M$，再设函数$f(x)$ 在闭区间 $[-m,m]$ 上有下确界为 $\lambda$，则显然 $\lambda$ 和 $M$ 中较小者就是 $f(x)$ 在 $R$ 上的下确界.

hbghlyj

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