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kuing
posted 2022-2-2 15:03
我昨晚想了一下，只想到高中方法，就没发，既然今天楼主已经查到答案，那我也写下我想到的。
设 A 到 GH、BF 的距离为 a、b，则 CD=CE=a+b，所以 `2S=(a+b)^2`，又 `AC^2=a^2+b^2`，所以 `2ab=2S-AC^2`。
由两弦垂直得 `\angle GAB+\angle HAF=180\du`，再由 `\angle HAB=45\du`，得 `\angle GAH+\angle BAF=270\du`，记 `\angle GAH=2\alpha`, `\angle BAF=2\beta`，则 `\cos\alpha=a/5`, `\cos\beta=b/5`，则
\[\cos135\du=\cos(\alpha+\beta)=\frac{ab}{25}-\sqrt{1-\frac{a^2}{25}}\sqrt{1-\frac{b^2}{25}},\]
移项平方得
\[2(a^2+b^2)+2\sqrt2ab=25,\]
代入上面的，即
\[2AC^2+\sqrt2(2S-AC^2)=25.\] |
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