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Last edited by hbghlyj 2025-3-10 01:59(2017 Berkeley Math Tournament 第 9 题)
$△ABC$中,$D$为直线$BC$上一点,且$DA$与$△ABC$的外接圆相切. $E$ 为 $△ABC$ 外接圆上一点,使得 $DE$ 与 $△ABC$ 的外接圆相切,但$E≠A$.设 $F$ 为$AE$与$BC$的交点,$BF/FC=4/5$.求$\sin∠ACB$的最大可能值.
不妨记 $B F=4$, 则 $C F=5$. 根据圆的切割线定理, 四点 $B$、$C$、$D$、$F$ 为调和点列.
由 $\frac{B F}{C F}=\frac{D B}{D C}=\frac{4}{5}=\frac{B D}{B D+9}$, 则 $B D=36$.
$$
|A D|^{2}=|B D| \cdot|D C|=36 \times 45,|A D|=18 \sqrt{5} .
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