|
|
Last edited by hbghlyj 2022-3-24 00:09近代的三角形几何学page142
A Short Trigonometric Proof of the Steiner-Lehmus Theorem.pdf
(31.33 KB, Downloads: 76)
一、引言 一个等腰三角形的相等的角的内角平分线相等(外角平分线也相等),这是欧几里得几何的一个平凡的练习.这里不论哪一种情况,平分线均指从相等的角的顶点到对边(或对边延长线)的线段.从几何学的幼年时期,就有很多人一定会猜想这个定理的逆是否成立.有一些人甚至找到这个问题的满意的答案.但即便如此,直到1840年,在历史上并没有答案.在这一年,柏林的教授莱默士(C.L.Lehmus,1780-1863)向著名的瑞士几何学家斯坦纳(Jakob Steiner,1796-1863)询问下面的定理的证明:如果一个三角形有两条内角平分线相等,那么这个三角形是等腰三角形.假如没有这一问,莱默士的大名可能早就被人忘记了.Lewin[20]写道:“斯坦纳很早找到一个证明但直到1844年才发表[1].在1850年,莱默士自己找到一个证明[9].但第一个发表证明的是法国数学家Rougevain,在1842年.” Coxeter与Greitzer加上一句话:“关于斯坦纳-莱默士定理的证明,1842,1844,1848年出现在各种杂志上,从1854至1864年,几乎每年都有.在以后的100年内,也有大量的.” Lewin[20]又说:“这似乎没有尽头的河流以Henderson[7]为顶峰,他宣称自己的目的是'写一篇关于内角平分线的文章以结束所有关于内角平分线的文章.'为了加强自己的说法,他提供多达10个不同的证明.” 这应当了结这件事了.但仅过了6年,McBride的一篇记录[9]提及大约60个证明!在1961年出版的[15]的第一版中,Coxeter给出一个简单的证明,这证明他归功于H.G.Forder在对Coxeter的书的评论[12]中,Martin Gardner提到这个证明,并用非常有趣的方式描述了斯坦纳-莱默士定理,以致数百名读者送来了他们自己的证明.Gardner不辞辛劳地看完了所有的证明,选出了他认为最好的证明,发表在美国数学月刊上[13].证明是两位英国工程师G.Gilbert与D.McDonnell给出的.发表后发现这一证明在实质上与莱默士1850年的证明是相同的.于是,这件事暂告一段落,只有直接证明与间接证明的争议还在继续.下面的第3节将作介绍.
二、斯坦纳-莱默士定理的简单证明 (a)首先,我给出Gardner从送给他的堆积如山的证明中发掘出的珍珠[13].
设$ABC$是内角平分线$BM$与$CN$相等的三角形,如图1.如果角$B$与$C$不相等, 必有一个较小, 比如 $B<C$. 在 $B M$ 上取 $L$, 使 $\angle L C N=\frac{1}{2} B$. 因为它等于 $\angle L B N$, 四点 $L, N, B, C$ 共圆. 因为
$$
B<\frac{1}{2}(B+C)<\frac{1}{2}(A+B+C)
$$
$\angle C B N<\angle L C B<90^{\circ}$. 因为圆的较小的弦对较小的锐角, 而 $B L<BM=CN$, 所以$\angle L C B<\angle C B N$,产生矛盾.
(b)第二个证明,是我自己喜欢的,属于法国工程师M.Descube.发表于[4],我在[5]中找到它(注意这里给出的两个证明都是工程师发现的,而不是职业数学家,这说明了某些东西).这个证明与第一个一样简短而优雅,更为初等,因为它没有用到圆.
设 $A B C$ 为三角形, 有相等的内角平分线 $B M$ 与 $C N$, 如图 2. 完成平行四边形 $N B M G$, 使得标上 $b$ 的两个角相等 (标上 $c$ 的两个角也相等). 只需证明 $b=c$. 如果 $b \neq c$, 那么其中有一个较大, 比如 $b>c$. 因为三角形 $N B C$ 与 $M B C$ 有两组对应边相等, 夹角为 $b$ 与 $c$, 所以有
$$
b>c \Rightarrow C M>B N
$$
在$\triangle C G N$中, $C N=N G$, 所以$b+g=c+h$, 因而$b>c\Rightarrow g<h \Rightarrow C M<M G \Rightarrow C M<B N$ 产生矛盾.
三、直接证明可能吗? 可以看到上面给出的两个证明都是间接的.Sylvester[3]注意到那时为止,所有的证明都用了归谬法,开始证明直接的证明是不可能的.他在这一点上并未十分成功,但他的结论一度被接受了.后来,“直接的”证明开始出现,Henderson在[7]中的10个证明,有7个被申称是直接的.于是McBride[9]讨论了60个不同的证明,指出每个“直接的”证明依赖于间接证明的引理.由此他作出结论:“如果欧几里得的命题Ⅰ.14,Ⅰ.29,Ⅰ.32及毕达哥拉斯定理是如我的观点,没有直接的证明,那么角平分线定理也不会被直接证明,它不可能有直接的证明.”这是在1943年.在1970年,Malesevic在[17]中发表了他宣称的直接证明.他的证明被Lewin在[20]中加以润饰.最后,更权威的Howard Eves在1972年[18.p58]问道:给出斯坦纳-莱默士定理的一个直接证明,他的解的轮廓在这书390页.我将它留给好奇的读者去判断Eves的论断是否正确.Coxeter与Greitzer在[14]中写道:“一个证明不能正式地称为直接的,如果它所利用的任一个辅助定理是间接证明的.由于某些最简单与最基本的定理是间接证明的,所以如果我们坚持完完全全的直接性,我们仓库里的定理就只剩下最微不足道的了,这样看来岂不令人忧伤?”接着他们引用G.H.Hardy[8]的名言:“归谬法,欧几里得所钟爱的,是数学家最好的一件武器.这是比任何象棋中的弃子远为精彩的弃子法:棋手丢掉的是一个卒,甚至一个车,而数学家弃掉的是整整一盘棋.”
四、外角平分线问题 在说过内角平分线问题的种种情况之后,很自然地,期望外角平分线有同样的性质,即:如果一个三角形的两条外角平分线相等,那么这三角形是等腰三角形.令人惊讶的是这个结论不成立:存在伪等腰三角形具有相等的外角平分线.Sastry[19]要求举出一个反例,C.W.Trigg[22]与L.A.Ringenberg[21]互相独立地回答了他的问题,而N.A.Court[11]已经指出了这个事实,但未给证明.Tigg给出这个问题的1917,1931,1933,1938,1939,1940年的参考文献.他在[22]中的解是有趣的.从显示(图3)$$A=132^{\circ}, B=36^{\circ}, C=12^{\circ}\tag1$$的三角形$ABC$在$A$与$C$具有相等的外角平分线(证明是容易的)开始,然后他指出: “更一般地, 三角形的角 $A$ 的外角平分线 $T_{A}$ 的平方等于 $b c\left[\frac{a^{2}}{(b-c)^{2}}-1\right]$ ”于是, 如果 $T_{A}=T_{C}$, 那么
$$
a b\left[\frac{c^{2}}{(a-b)^{2}}-1\right]=b c\left[\frac{a^{2}}{(b-c)^{2}}-1\right]
$$
这表达式化简为
$$
b(a-b+c)(c-a)\left[b^{3}-(a+c) b^{2}+3 a c b-a c(a+c)\right]=0
$$
前两个因子不会为 0 , 所以 $c-a=0$, 三角形为等腰三角形, 或者
$$
b^{3}-(a+c) b^{2}+3 a c b-a c(a+c)=0\tag2
$$
这个 $b$ 的方程有一个实根与两个复根. 实根是
$$
b=M+\sqrt[3]{M^{3}+\sqrt{N}}+\sqrt[3]{M^{3}-\sqrt{N}}
$$
其中 $M=\frac{a+c}{3}$ 永远为正, $N=\frac{1}{27} a c\left[27 a^{2} c^{2}-9 a c(a+c)^{2}+(a+c)^{4}\right]$. 在 $a=c$ 时, 对应的三角形是等边的. 在 $a \neq c$ 时, 三角形是伪等腰的.在乘以 $a+b+c=2 s$ 后,方程 (2) 可写成
$$
\left(\frac{s-b}{b}\right)^{2}=\left(\frac{s-a}{a}\right)\left(\frac{s-c}{c}\right)
$$
的形状.
这个表达式, 由半角公式$\sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{b c}}$, 又等价于
$$
\sin ^{2} \frac{B}{2}=\sin \frac{A}{2} \sin \frac{C}{2}
$$
三角形(1)正是适合此式的一个特殊情况. |
|
isee
Posted 2022-3-14 10:39
