莫莱三分线定理

hbghlyj

近代的三角形几何学page127
伟大的代数几何学家莫莱(Frank Morley,1860-1937)在1887年由英国到美国,在Haverford学院任教,1990年转到Johns Hopkins担任数学系主任(关于他的生活与工作的履历见[33],[92]).1900年,他的光辉论文“平面$n$-线的距离几何”发表在美国数学会译丛第一期[78].其中,他证明了几个关于平面上$n$-线及其特征常数的性质的非常一般的定理.随便说一下,在这篇重要的研究报告中,没有一次采取现在的习惯叙述方式:“定理⋯⋯证明⋯⋯”,注意到这一点是很有趣的.
而在这些未宣布的定理中,有一个非常非常特别的情况,它在过去的¾个世纪中激起了数学家的好奇心,现在简单地称为莫莱三分线定理:

一个三角形的角的三等分线的,分别靠近三条边的三个交点,构成等边三角形

这是一个非常令人惊奇,完全出乎意料的数学定理.这是一粒珍珠,绝对的美丽,很难有与它匹配的对手.最简单的情况仅涉及内角.在[13],[81],[82]中,可以看到莫莱的思想,怎样从他自己对于现在被称为克利夫德理论(在文献中记为(C))的贡献中十分自然地产生上述定理.
这个定理出现了许多证明,我们相信绝大多数已经列在我们鉴定过的文献中.随着证明的流行与增生,关于问题起源、表述及最早出现在印刷物的证明等事情,有一些不准确甚或错误的说法混入文献中,或许这个注记可以使大多数记录成为正确.首先,莫莱是富兰克·莫莱,而不是[31],[44]所说的约翰.
当然,莫莱本人非常清楚他的定理的独特的性质及各种情况,事实上,他的理论考虑到所有的18种莫莱等边三角形,虽然他乐意指出这一点,但由于这仅是他的一般理论的一个很小的部分,他并未费心去大肆宣扬,所以,在印刷物中,恰恰是这个简单定理,他不但从未举出,而且也没有发表过关于它的直接证明.
但与他的友人,例如在剑桥的Richmond与爱丁堡的Whittaker,不太迟地交流了这一结果.所以在1904年左右,这一定理已为大家知道,见[1]中莫莱给G.Loria的信.
我们找到的、关于这个定理的最早的出版物是E.J.Ebden的,但显然认为这个问题是他同时在英伦三岛与欧洲大陆提出的.1908年,它出现在伦敦的The Educational Times上[42],[101]),作为问题16381;又出现在布鲁塞尔的Mathesis,作为问题1655.在这两个例子中,均未列出莫莱的名字.这不足为奇,因为若干年来,这个定理似乎在飘荡着寻救一位创始人,迟至1913年,Taylor与Marr在爱丁堡数学会时,宣读一篇关于这一课题的论文,仍不知道这一定理的著作权属谁,在他们的文章[108]中,表示了谢意.顺便说一下,这篇文章首次给出了完整的解答.
Ebden的问题16381的解答由Satyanarayana在[101]中给出,他的问题1655的解答由Delahaye与H.Lez在[36]中给出.后面的优雅的解答以求莫莱三角形的边长为要点.设已知三角形为$ABC$,内角$A=3α,B=3β,C=3γ$.$O$为外心,$OC=r$为外接圆半径,又设莫莱三角形为$DEF$(图1),在我们的记号中,他们求出$EF=8r\sinα\sinβ\sinγ$,这是一个对称式,从而证明了$DEF$是等边三角形.这似乎是这一公式的第一次出现,虽然Kaven[61]说Hofmann[54]是第一个使用它的.
就我们所知,下一个最早的证明是[83],由M.T.Naraniengar在“Mathematial Questions and Solutions”(数学问题与解答)中给出的.引自“The Educational Times”众多论文与解答,不仅包含那些发表在“The Educational Times”上的,新系列丛书15(1909年于伦敦出版)47页.这里我们详细地写出上述文献的名称,因为混乱会由此产生:这篇文章显然不出版在“The Educational Times”上.它出现在“Mathematical Questions and Solutions”上,后者常被称为“The Educational Times”的抽印本(在[61]中,抽印本被写成“Repruits”,引起更多的混乱).
在1920年,这个问题已经引起了非常大的兴趣,以至用在聖约翰的奖学金申请测试中.

莫莱 1900 年的一般理论的特殊化(图 1) 在以下情形成立: (i) 三个内角, 产生三角形 $D E F$. (ii) 三个外角, 产生三角形 $G H J$. (iii) 两个外角与一个内角的混合, 产生 3 个莫莱三角形 $J K L, G M N$ 与 $P Q H$. Satyanarayana 和 Delahaye与H.Lez 两方都处理过这全部三种情况, 如 [44],[69],[85] 所示.
但还有更一般的推广. 因为每个角 $A, B, C$ 都可以用三种不同方式三等分, 即采用 $A, A+2 \pi, A+4 \pi$, 类似地处理 $B, C$. 这样做将产生 27 个三角形, 其中有 18 个是等边三角形. 这 18 个(包括上面已给的) 构成全部的解 (CS). 全部解的图形是复杂的, 见 [38],[55],[108], 所有莫莱三角形的边互相平行, 边长的形式为
$$
8 r \sin (\alpha+\theta) \sin (\beta+\phi) \sin (\gamma+\psi)
$$
其中 $\theta, \phi, \psi$ 的每一个都是 $0, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}$ 的一种特定的选择 [71].
在文献中列入相关的材料,标记为$R$.因为如你可能预料到的,莫莱定理与很多著名的点一线一面一圆一多边形的图形有关,例如冠名为阿波罗尼,布利安桑,塞瓦,笛沙格,费尔巴哈,哈塞(Hesse),莱莫恩,梅涅劳斯,帕斯卡,托勒密,西摩松,斯俾克,斯坦纳等的图形.事实上,一些证明从著名的定理开始例如,见[48].其中一开头就提到笛沙格与梅涅劳斯,再如,在[85],纽堡将一个证明归功于Ad.Mineur,这证明首先注意到六边形$A'A''B'B''C'C''$是帕斯卡的,而六边形$DRESFT$是布利安桑的(图1),在[85,363页]的注中将$A'C$更正为$AC'$.在[74],[109]中应作同样更正,可能由于粗心的编辑,重复了这一错误.
对有兴趣的读者,下列文章,所提供的机灵与多种多样两个方面都值得推荐:[32],[48],[71],[88],[106],[108],[113].
我们所见到所有证明都仅仅采用初等数学,但没有一个可以说是简单的.有一些以多达3个引理(通常包含一些复杂的三角恒等式)为开始,而后用二、三行字很快结束了证明.很多文章跟随[36]的一般模式,求莫莱三角形的一边之长.但不如[66]成功.由于它的简短,下面将[66]完整的写出(仅将符号改变以符合图1)$$
A F=\frac{c \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)}=\frac{2 r \sin \beta \sin 3 \gamma}{\sin \left(\frac{\pi}{3}-\gamma\right)}=8 r \sin \beta \sin \gamma \sin \left(\frac{\pi}{3}+\gamma\right)
$$
同理
$$
A E=8 r \sin \beta \sin \gamma \sin \left(\frac{\pi}{3}+\beta\right)
$$
而
$$
E F^{2}=A E^{2}+A F^{2}-2 A E \cdot A F \cdot \cos \alpha
$$
从而 $E F=8 r \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$. 由对称性,这证明了定理.
请做下去,补充出三角运算,这是一个很好的练习,对你自已的检验.我们想到某些读者可能会有兴趣用更加个人的观点来看这位数学家:他非常冷淡地将这粒永远的几何珍珠扔在一旁.因此,我们请莫莱的最小的儿子,曾与他父亲一同研究几何的Frank V. Morley与我们分享他的一些想法.下面是他的评论.

在我是学生的时候,我的父亲,他比我差不多大四十岁,用手给我画了一个铅笔草图,画的是平面几何中的上面讨论的定理的最简单的形式.
我立即用自己的画图工具进行检验.无论我开始画的原来的三角形形状如何,中央都是一个由三等分线形成的等边三角形.真是离奇的,真是不可思议的,同时又是真实的.如果你画得精确,这个定理总是自己证明了自己,至少从眼睛看来是这样.使我相当烦恼的是,很长时间内,将相当含混的考察当作合格的证明而不知道,在我能够证明这个定理之前,我继续画图,第二个疑问冒了出来:这是多么简单的图形,它保持了一个秘密,直到我父亲才发现它.至少从欧几里得起,人们一代又一代地玩弄直尺与圆规,注视三角形的几何,为什么没有人打破三等分角的禁忌,为什么没有人画三等分线并发现里面的等边三角形呢?
对任何像这个定理这样简单,这样吸引人的几何性质,我的父亲并不缺少热情,我从未直接问过他这个问题,虽然这是一个合适的问题,即Oakley教授现在问我的:为什么在发现它的时候,我的父亲对推出这个珍珠保持冷淡.如果他移开它的遮盖物,将它放到陈列室,作为一块分割开的静态的宝石,可能会引起一点欢呼.我认为在Inversive Geometry, by Frank Morley(反演的几何学)一书中这个定理出现的方式可以回答这个问题.关注这个分离的定理,对于他,不会影响他对“运动的”心脏线及其切线的愉快的考察:正是心脏线引导他、提供他关于这个三等分线定理的优雅的证明.证明与定理结合在一起是令人愉快的.如果你愿意,可以将定理孤立出来.但对于他,心脏线的巧妙的性质是“在美的方面胜过特洛伊王子”.
虽然如此,这种涉及一个三角形的角的三等分线的简单图形的情况,会使某些人,在某种场合,在我父亲对$n$-线的沉思并引导他发现它之前,见到并对这个定理加以评说.因此,我认为,我父亲是平静地、半私人性质地对懂行的同事说起这一定理,将它作为机遇提供的.在美国,在英国,或者在欧洲大陆,都没有任何同事说起我父亲曾竞争关于这粒“珍珠”的存在性的知识的优先权.他允许在日本发表这个定理,在远东也没有引出优先权的争议.我认为现在你将这个定理冠上他的名字,他是会同意的.
至于描绘Frank Morley,上述定理及其他的作者,我几年前在一本称为《我对象棋的一点贡献》(纽约B.W.Huebsch,1945出版)的小书中已尽了我的最大努力.但这本书,即使现在还有,也已经很难见到了.

本文参考文献
The following letter-coding of the reference numbers should be clear and,we trust,useful. They give some indication of the mathematical nature of the references.

B.Book

CC.Mathematics associated with Clifford chains

CS.Complete solution (for all 18 Morley triangles)

CV.Proof using complex variables

G.Proof by geometry

IP.Indirect proof

PG.Proof by projective geometry

PP.Proposed problem (Morley,or related)

PPS.Proposed problem solved

R.Related material

T.Proof by trigonometry

[1B] H.F.Baker,Introduction to Plane Geometry,Cambridge University Press, London,1943.
[2B]O.Bottema,Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde,N.V.Servire, The Hague,1944.
[3B]W.K.Clifford,Collected Mathematical Papers,Macmillan,London,1882.
[4B]J.Coolidge,Treatise on the Circle and the Sphere,Oxford University Press, London,1916.
[5B]H.S.M.Coxeter,Introduction to Geometry,2nd ed.,Wiley,New York,1969.
[6B]H.S.M.Coxeter and S.L.Greitzer,Geometry Revisited,Random House/ Singer,New York,1967.
[7B]L.A.Graham,Ingenious Mathematical Problems and Methods,Dover,New York,1959.
[8B]Andre Haarbleicher,A brochure:De l'emploi des droites isotrpnes comme.axes de coordonnees,Gauthier-Villars,Paris,1931.
[9B]Ross Honsberger,Mathematical Gems (The Dolciani Mathematical Expositions)Vol.1,The Mathematical Association of America,1973.
[10B]R.A.Johnson,Advanced Euclidean Geometry,Dover,New York,1960.
[11B]David C.Kay College Geomeny,Holt,Rinehart Winston,New York,1969.
[12B]E.H.Lockwood,A Book of Curves,Cambridge University Press,New York,1971.
[13B]F.Morley and F.V.Morley,Inversive Geometry,Ginn,Boston,1933. Reissued by Chelsea,Bronx,N.Y.,1954.)
[14B]William Schaaf,A Bibliography of Recreational Mathematics,Vol.2,The National Council of Teachers of Mathematics,Reston,Va.,1970.
[15B]F.Schuh,Leerboek der vlakke driehoeksmeting,The Hague,1939.
[16B]James R.Smart,Modern Geometries,Brooks/Cole,Monterey,Calif.,1973.
[17B]J.Steiner,Gesammelte.Werke,Vol.1,2nd ed.,Chelsea,Bronx,N.
后面的参考文献太多了...省略...

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文章2:Frank Morley的心脏线的尖点(如下图)就是三等分角线的交点


文章3:cut-the-knot.org

文章4:Gentle Introduction to the Art of Mathematics, Joseph Fields, page 393, Morley’s Miracle

文章5:几何瑰宝,上册,从413页“内莫利三角形定理”开始...

又见这帖

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数学奥林匹克小丛书 (俗称“小蓝本”) 高中卷7 平面几何 第69页 例 6 证明 Morley 定理: 如图 7-6, 设 $\triangle A B C$ 内有三点 $D 、 E 、 F, \angle D B C=\angle F B A=\frac{1}{3} \angle A B C$, $\angle F A B=\angle E A C=\frac{1}{3} \angle B A C$,$\angle E C A=\angle D C B=\frac{1}{3} \angle A C B$, 则 $\triangle D E F$ 是正三角形. 证明 不妨设 $\triangle A B C$ 对应角为 $\angle A 、 \angle B 、 \angle C, R$ 为 $\triangle A B C$ 外接圆半径. 先证 $A F=8 R \sin \left(60^{\circ}+\frac{\angle C}{3}\right) \sin \frac{\angle B}{3} \sin \frac{\angle C}{3}$, 这是因为 $\frac{A F}{A B}=\frac{\sin \frac{\angle B}{3}}{\sin \frac{\angle A+\angle B}{3}}=\frac{\sin \frac{\angle B}{3}}{\sin \left(60^{\circ}-\frac{\angle C}{3}\right)}$, 于是 $A F=A B \cdot \frac{\sin \frac{\angle B}{3}}{\sin \left(60^{\circ}-\frac{\angle C}{3}\right)}=2 R \cdot \sin \angle C \cdot \frac{\sin \frac{\angle B}{3}}{\sin \left(60^{\circ}-\frac{\angle C}{3}\right)}$ $=8 R \cdot \sin{\angle C\over3} \cdot \sin \left(60^{\circ}+\frac{\angle C}{3}\right) \cdot \sin \frac{\angle B}{3}$. (这里用到 $\sin \alpha \cdot \sin \left(60^{\circ}+\alpha\right) \cdot \sin \left(60^{\circ}-\alpha\right)=\frac{1}{4} \cdot \sin 3 \alpha$. ) 类似地有, $A E=8 R \cdot \sin \left(60^{\circ}+\frac{\angle B}{3}\right) \cdot \sin \frac{\angle B}{3} \cdot \sin \frac{\angle C}{3}$,于是 $E F^{2}=A E^{2}+A F^{2}-2 A E \cdot A F \cos \frac{\angle A}{3}$ $\xlongequal{(1)}64 R^{2} \sin ^{2} \frac{\angle B}{3} \sin ^{2} \frac{\angle C}{3}\left(\sin ^{2}\left(60^{\circ}+\frac{\angle C}{3}\right)+\sin ^{2}\left(60^{\circ}+\frac{\angle B}{3}\right)\right)-2 \times 64 R^{2} \cdot \sin ^{2} \frac{\angle B}{3} \sin ^{2} \frac{\angle C}{3} \sin \left(60^{\circ}+\frac{\angle B}{3}\right) \sin \left(60^{\circ}+\frac{\angle C}{3}\right) \cdot\cos \frac{\angle A}{3}$ $\xlongequal{(2)}64 R^{2} \sin ^{2} \frac{\angle B}{3} \sin ^{2} \frac{\angle C}{3}\left[\sin ^{2}\left(60^{\circ}+\frac{\angle C}{3}\right)+\sin ^{2}\left(60^{\circ}+\frac{\angle B}{3}\right)-2 \sin \left(60^{\circ}+\frac{\angle B}{3}\right) \cdot \sin \left(60^{\circ}+\frac{\angle C}{3}\right) \cdot \cos \frac{\angle A}{3}\right]$ $\xlongequal{(3)}64 R^{2} \sin ^{2} \frac{\angle B}{3} \sin ^{2} \frac{\angle C}{3}\left[1+\cos \frac{\angle A}{3} \cdot \cos \left(\frac{\angle C}{3}-\frac{\angle B}{3}\right)-2 \sin \left(60^{\circ}+\frac{\angle B}{3}\right) \sin \left(60^{\circ}+\frac{\angle C}{3}\right) \cos \frac{\angle A}{3}\right]$ $\xlongequal{(4)}64 R^{2} \sin ^{2} \frac{\angle B}{3} \cdot \sin ^{2} \frac{\angle C}{3}\left[1-\cos ^{2} \frac{\angle A}{3}\right]$ $\xlongequal{(5)}64 R^{2} \sin ^{2} \frac{\angle A}{3} \sin ^{2} \frac{\angle B}{3} \sin ^{2} \frac{\angle C}{3}$ 于是$EF=8 R \sin \frac{\angle A}{3} \sin \frac{\angle B}{3} \sin \frac{\angle C}{3}$是关于$A$ 、$ B$ 、$ C$对称的值, 所以$D F=D E=E F$. ----- (3)的说明:这一步是$\sin^2\left(60^\circ+\frac{\angle C}3\right)+\sin^2\left(60^\circ+\frac{\angle B}3\right)=1+\cos\frac{\angle A}3\cdot\cos\left(\frac{\angle C}3-\frac{\angle B}3\right)$ 也就是$\sin^2\left(60^\circ+\frac{\angle C}3\right)-\frac12+\sin^2\left(60^\circ+\frac{\angle B}3\right)-\frac12=\cos\frac{\angle A}3\cdot\cos\left(\frac{\angle C}3-\frac{\angle B}3\right)$ 也就是$\frac12\cos\left(60^\circ-\frac{2\angle C}3\right)+\frac12\cos\left(60^\circ-\frac{2\angle B}3\right)=\cos\frac{\angle A}3\cdot\cos\left(\frac{\angle C}3-\frac{\angle B}3\right)$ 也就是$\frac12\cos\left(60^\circ-\frac{2\angle C}3\right)+\frac12\cos\left(60^\circ-\frac{2\angle B}3\right)=\cos\left[\left(60^\circ-\frac{2\angle C}3\right)+\left(60^\circ-\frac{2\angle B}3\right)\right]\cdot\cos\left[\left(60^\circ-\frac{2\angle C}3\right)-\left(60^\circ-\frac{2\angle B}3\right)\right]$ (4)的说明:这一步是$\cos\left(\frac{\angle C}3-\frac{\angle B}3\right)-2\sin\left(60^\circ+\frac{\angle B}3\right)\sin\left(60^\circ+\frac{\angle C}3\right)=-\cos\frac{\angle A}3$ 也就是$\cos\left(\frac{\angle C}3-\frac{\angle B}3\right)+\cos\frac{\angle A}3=2\sin\left(60^\circ+\frac{\angle B}3\right)\sin\left(60^\circ+\frac{\angle C}3\right)$ 也就是$\cos\left[\left(60^\circ+\frac{\angle C}3\right)-\left(60^\circ+\frac{\angle B}3\right)\right]-\cos\left[\left(60^\circ+\frac{\angle B}3\right)+\left(60^\circ+\frac{\angle C}3\right)\right]=2\sin\left(60^\circ+\frac{\angle B}3\right)\sin\left(60^\circ+\frac{\angle C}3\right)$

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近代欧氏几何学 [美]约翰逊 §420 (哈尔滨工业大学出版社,p176)(英文原书:R.A.Johnson,Advanced Euclidean Geometry,Dover,New York,1960,p253)
§420 定理 作一个三角形的角的三等分线,使得与每条边相邻的两条线相交,则交点是一个正三角形的三个顶点
设与 $A_{2} A_{3}$ 相邻的三等分线为 $A_{2} P_{1}$ 与 $A_{3} P_{1}$, 等. 要证明 $P_{1} P_{2} P_{3}$ 是等边三角形(图 83).
延长 $A_{2} P_{1}$ 与 $A_{1} P_{2}$ 相交于 $L$. 作三角形 $A_{1} A_{2} L$ 的内切圆, 圆心显然是 $P_{3}$. 设 $Q, R$ 分别为它在 $L A_{2}$ 与 $L A_{1}$ 上的切点, 又设 $P_{3} R$ 交 $A_{1} A_{3}$ 于 $K, P_{3} Q$ 交 $A_{2} A_{3}$ 于 $N$; 设 $K$ 到这个圆的切线与圆相切于 $P$, 交 $A_{2} L$ 于 $F$(图中未标出$F$). 则
$$
\overline{P_{3} R}=\overline{R K}, \overline{P_{3} P}=\frac{1}{2} \overline{P_{3} K}
$$
$$
\begin{gathered}
\angle P P_{3} K=60^{\circ}, \angle P_{3} K P=30^{\circ} \\
\angle Q P_{3} R=180^{\circ}-\angle Q L R=120^{\circ}-\frac{2}{3} \alpha_{3}
\end{gathered}
$$
所以
$$
\begin{aligned}
∡ F N Q=& \angle F P_{3} Q=\frac{1}{2} \angle Q P_{3} P=\\
& \frac{1}{2}\left(\angle Q P_{3} R-60^{\circ}\right)=30^{\circ}-\frac{1}{3} \alpha_{3}
\end{aligned}
$$
又
$$
\begin{gathered}
\angle P_{3} N K=\angle P_{3} K N=\frac{1}{2} \angle Q L R=30^{\circ}+\frac{1}{3} \alpha_{3} \\
\angle F N K=\frac{2}{3} \alpha_{3}, \angle F K N=\frac{1}{3} \alpha_{3}
\end{gathered}
$$
所以 $F, K, A_{3}, N$ 共圆. 从而 $F$ 与 $P_{1}$ 重合, $K$ 到圆 $P_{3}$ 的切线过 $P_{1}$.
同理, $N$ 到这个圆的切线过 $P_{2}$. 因为图形 $P_{3} N K$ 是对称的, $N P_{2}$ 与 $K P_{1}$ 在对称的位置上, 所以容易看到弧 $P P_{1}$ 等于弧 $P_{2} R$; 但角 $P P_{3} R$ 等于 $60^{\circ}$, 因此角 $P_{1} P_{3} P_{2}$ 等于 $60^{\circ}$.

§421这个定理曾被泰勒(Taylor)与马尔(Mar)推广①.他们的主要结果如下:
定理 三角形的每一个角有六条三等分线;对每条内角三等分线,有两条外角三等分线与它成120°角.这些三等分线相交得二十七个点,落在九条直线上,每一条上有六个点.这九条直线分为三组平行线,各组之间的夹角为60°.
§422同一类型的另一个定理由夫尔曼给出(上述引文,P.50).
定理 设四个点在一个圆上,则四个三角形的内心组成一个长方形,它的边平行于对弧中点的连线;这些连线过这长方形的中心.
-------
脚注①Proceedings of Edinburgh Math.Society,XXI,1914,pp.119~150.上面所给的聪明的证明,这些作者归之于W.E.Philip.
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设 $A, B, C, D$ 顺次在一个圆上, $a, b, c, d$ 为三角形 $B C D, C D A, D A B, A B C$ 的 内心, 弧 $A B, B C, C D, D A$ 的中点为 $M, N, P, Q$.
以 $Q$ 为圆心, $Q A=Q D$ 为半径的圆过 $b$ 与 $c$(§292), 并且 $D c M, A b P$ 都是直线. 所以$\measuredangle b A D=\measuredangle b c D$. 于是 $b c$ 与 $a d$ 平行于 $M P$, 而 $a b$ 与 $c d$ 平行于 $N Q$. 但 $M P$ 与 $N Q$ 垂直, 所以 $a b c d$ 是长方形. 而且 $N Q$ 垂直于圆 $Q$ 的弦 $b c$, 所以 $N Q$ 平分弦 $b c$. 于是 $M P$ 与 $N Q$ 的交点是这个长方形的中心.
更一般地:定理以圆上四点为顶点的四个三角形,它们的十六个内心与旁心,是两组平行线的交点,这两组平行线互相垂直,每组有四条线§423下列定理是斯坦纳叙述的,没有证明.我们遵循这庄严的榜样.部分的证明并没有困难,但完整的证明(孟辛曾经给出)长而且甚难①
定理 在一个完全四边形中,角的平分线相交于十六个点,即四个三角形的内心与旁心.这些点是两组圆的交点,每组四个圆,它们是共轭共轴圆组的成员.两个圆组的轴相交在这个四边形的四个三角形的外接圆的公共点
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脚注①Steiner,Collected Works,I,p.223;Mention,Nouvelles Annales,1862,p.16;p.65.

hbghlyj

Cardioids and Morley's trisector theorem

In 2016 Jan Brinkhuis and I have written an article Cardioids and Morley's Trisector Theorem.
It has appeared in Nieuw Archief voor Wiskunde in March 2017. Click here for a pdf.

Morley chains of osculant curves

This article may be viewed as a sequel to the above paper on cardioids and Morley's trisector theorem. It addresses the question why Morley was interested in cardioids touching each of the extended sides of a triangle. It has appeared in Nieuw Archief voor Wiskunde in December 2017. Click here for a pdf.

Note: In the references on page 246, the url of the article by A. Miquel should read:
gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k16382m/f494.image. Click here.

莫利五圆定理

上一篇文章中的一个很好的定理是 Morley's five cirles theorem.在该文章的第 242 页，该命题被提出并证明为更一般结果的特例。我用那句话作为我们 2018新年贺卡的插图。 点击此处获取简短的独立证明。您所需要的只是复数计算的知识。

青青子衿

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文章 2:Frank Morley 的心脏线的尖点(如下图)就是三等分角线的交点
hbghlyj 发表于 2022-3-13 04:35

楼主犯了一个小错误，应该是内切心脏线的中心是三等分线的交点。

任意三角形都有三条内切心脏线
Cardioids and Morley’s Trisector Theorem
Jan van de Craats and Jan Brinkhuis
staff.science.uva.nl/j.vandecraats/MorleyAndCardioids.pdf

三角形的内切心脏线与三角形有四个切点！
当心脏线外一点引的两条切线，其中有一条切线有两个切点
（即两切线为一单一双切触，实际上满足条件的点只能落在那条双切轴上）时，
心脏线中心与切线引点的连线将切角分为二比一。