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给定$n$阶实矩阵$A=(a_{ij})$，定义$n(A)=\sum_{i,j}\abs{a_{ij}}$，对$n$维实向量$x=(x_1,\cdots,x_n)^T\in\mathbb{R}^n$定义$\rho(x)=\sum_{i=1}^{n}\abs{x_i}$。定义$s=\inf\{m:\rho(Ax)\le m\rho(x),\forall x\in\mathbb{R}^n\}$，求证$s\le n(A)$，并说明什么情况下取等号。
\begin{align*}
\rho(Ax)
&=\sum_{i=1}^{n}\abs{\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j}
\le\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{n}\abs{a_{ij}}\abs{x_j}\right)\\
&\le\sum_{i=1}^{n}\left[\left(\sum_{j=1}^{n}\abs{a_{ij}}\right)\left(\sum_{j=1}^{n}\abs{x_j}\right)\right]
=\left(\sum_{j=1}^{n}\abs{x_j}\right) \cdot \left(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\abs{a_{ij}}\right)\\
&=n(A)\rho(x)
\end{align*}
所以$s\le n(A)$，等号什么时候能取到呢？是上式那些不等号全都取等时吗？如果是的话，那些不等式要怎么才能取等？ |
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