已知正实数x，y满足x+2y=2，求$\frac{1}{x^2}+\frac{2}{y^2}$最小值

走走看看

如题。

isee

回复 1# 走走看看

a+b=1，求 8/a^2+1/b^2 的最小值

走走看看

回复 2# isee

你的意思我明白，把已知的条件化成1乘进去，但不能解决问题。这里的目标函数分母都是二次方。

isee

回复 3# 走走看看

这两题其实本质是一样的，甚至形式是都是一样的，总之链接就是最优解.

其次，我把链接中的8#连续两次柯西不等式搬过来，可能是你接受的解法，
为了书写方便，记`\alpha^2=\frac 1{\sqrt 3}`:
\[\left(\frac 13+\frac 23\right)\left(\frac 1{x^2}+\frac 8{(2y)^2}\right)\geqslant \left(\frac {\alpha^2}x+\frac {4\alpha^2}{2y}\right)^2\geqslant\left(\frac {9\alpha^2}{x+2y}\right)^2=\frac {27}4,\]

走走看看

回复 4# isee

没想到2楼是链接，我以为出了道相似的题提醒我呢。两次使用柯西不等式绝妙，谢谢！

走走看看

回复 4# isee

若用权方和公式，发现有两个结果。

一种情况：
\begin{align*}
&\frac{1}{x^2}+\frac{2}{y^2}\\
&=\frac{1}{x^2}+\frac{8}{4y^2}\\
&\ge\frac{1+8}{(x+2y)^2}\\
&=\frac{9}{4}
\end{align*}
取等条件是 :
\begin{align*}
&\frac{1}{x}=\frac{8}{2y}\\
&x=\frac{2}{9}\\
&y=\frac{8}{9}\\
\end{align*}

另一种情况：
\begin{align*}
&\frac{1}{x^2}+\frac{2}{y^2}\\
&=\frac{1}{x^2}+\frac{8}{4y^2}\\
&\ge\frac{(1+2)^3}{(x+2y)^2}\\
&=\frac{27}{4}
\end{align*}

取等条件是 ：
\begin{align*}
&\frac{1}{x}=\frac{2}{2y},x+2y=2\\
&x=y=\frac23\\
\end{align*}

经检验，后一种情况正确。

那么为什么前一种情况是错误的呢？

走走看看

明白了，权方和不等式有形式上的要求：分子次数要比分母高一次。
广义权方和不等式的要求是：分子次数比分母高二次或二次以上。

也就是说，分母次数必须比分子次数高。

看来，赫尔德不等式要求低一些。