$f(x)$是$[0,1]$上的连续函数，则$\{f(r_n)\}$是否线性无关

abababa

设$[0,1]$中的全体有理数为$\{r_n\}$，再设$f(x)$是$[0,1]$上的连续函数，则$\{f(r_n)\}$是否线性无关？即是否对任意有限数$k$，都有
\[a_1f(r_1)+\cdots+a_kf(r_k)\Rightarrow a_1=\cdots=a_k=0\]

$f(x)$是零函数时一定相关，除此之外的情况呢？

Czhang271828

反证吧, 设存在非零数组 $\{a_k\}_{k=1}^n$ 使得 $\sum_{k=1}^n a_kf(r_k)\equiv 0$, 则可以构造连续函数 $f$ 使得 $f(r_k)=-\dfrac{1}{a_k}$, $k=1,2,\ldots, n$. 从而矛盾.

abababa

回复 2# Czhang271828

谢谢，但题里问的这个$f(x)$不能是构造出来的吧，而是对任意的$f(x)\in C[0,1]$，问哪一类能使$\{f(r_n)\}$线性无关。2楼构造出来的这一类能线性无关，但除此之外不一定线性相关。

Czhang271828

回复 3# abababa

个人理解的表述是: 是否存在有限数组 $\{(a_k,r_k)\}_{k=1}^N$ 使得 $\sum_{k=1}^N a_k f(r_k)\equiv 0$ 对所有 $f\in C([0,1])$ 一致地成立.

二楼用反证法, 出现反例即代表不对所有 $f\in C([0,1])$ 一致地成立.