求证$V-W+a$包含一个中心在原点的开圆。

abababa

设$X$是全平面上的点集，$V,W$是$X$中的两个不相交的凸集，原点$O$是$V$的内点，给定$a\in W$，求证$V-W+a$包含一个中心在原点的开圆。

我证明了$V-W+a$也是一个凸集，另外因为$0\in V,a\in W$，所以$0=0-a+a\in V-W+a$，即集合$V-W+a$确实包含原点。怎么证明它包含一个中心在原点的开圆呢？从图上看很直观，只要让开圆半径无限小，就能包含在$V-W+a$里，但怎么用代数的方法证明它呢？

凸集：若对平面集合$V$中任意两点$x,y$和任意的实数$t\in[0,1]$，都有$tx+(1-t)y\in V$，则称$V$是凸集。
内点：给定集合$V$和点$x\in V$，如果存在以$x$为中心的开圆$B$，使得$B\subseteq V$，则称$x$是$V$的内点。
集合加法：$V,W$是任意两个集合，则集合$V+W=\{v+w: v\in V,w\in W\}$。
集合加数：$V$是任意一个集合，$a$是一个复数，则集合$V+a=\{v+a: v\in V\}$。

abababa

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刚发完就会了。
因为$0$是$V$的内点，所以存在以$0$为中心的开圆$B$使得$B\subseteq V$，然后就用这个开圆，证明$B\subseteq V-W+a$。
对任意的$x\in B\subseteq V$，选择$v=x\in V$和$w=a\in W$，则$x=v-w+a\in V-W+a$，由$x$的任意性就有$B\subseteq V-W+a$。

Czhang271828

abababa 发表于 2022-4-5 21:18
回复 1# abababa

刚发完就会了。

题主是在学凸集分离定理吗hhh

今晚看了高等数学区里很多泛函分析相关的题目, 大概猜到题主是照着哪本书学了 (那个标志性的补集 $CU$ )

abababa

Czhang271828 发表于 2022-5-23 20:51
题主是在学凸集分离定理吗hhh

今晚看了高等数学区里很多泛函分析相关的题目, 大概猜到题主是照着哪本书 ...

《泛函分析》第三版，刘炳初编著的那本。那里补集就这么写的，没看懂。