安振平老师的几道不等式习题

走走看看

顶上面的一题的右边，以及4、5、6题不会做。还怀疑4题的等号取不到。

kuing

4、5、6 见 forum.php?mod=viewthread&tid=3906
其中第 4 题条件确实是打错了，应该是 ab+bc+ca=3。

kuing

第 2 题 a,b,c 可以是实数范围，见 forum.php?mod=viewthread&tid=7313#pid36641

kuing

顶上面的一题，令
\[\frac1{a^2+2}=\frac x3\riff\frac1a=\sqrt{\frac x{3-2x}},\]
问题变成：`x`, `y`, `z>0`, `x+y+z=1`，求证
\[1<\sqrt{\frac x{3-2x}}+\sqrt{\frac y{3-2y}}+\sqrt{\frac z{3-2z}}\leqslant\frac3{\sqrt7},\]
齐次化就是
\[1<\sum\sqrt{\frac x{x+3y+3z}}\leqslant\frac3{\sqrt7},\]
左边用 holder（或权方和）即可，见《撸题集》第 660 页题目 5.1.58；
右边见 forum.php?mod=viewthread&tid=5098。

走走看看

回复 4# kuing

kuing的法力强大！

走走看看

回复 3# kuing

如果a、b、c是正值，如何用赫尔德不等式？

我怎么配不出来，我是用常规方法来证明的。

kuing

如果a、b、c是正值，如何用赫尔德不等式？...
走走看看 发表于 2022-4-8 17:47

你所了解的holder不等式达到哪种形式？

走走看看

回复 7# kuing

就是 doc88.com/p-6931962852377.html 里面的方法，好像是扩展形式。我觉得，这个扩展形式，跟卡尔松不等式是一样的。

kuing

回复 8# 走走看看

holder的指数是正实数范围，与carlson还是有区别的，carlson只能说是holder的推论。
既然知道这个形式那就行了，把左边各项的位置稍作调整，套入公式，就出来了。

走走看看

回复 4# kuing


x，y，z＞0，x+y+z=1,考察

$\sqrt{\frac{x}{3-2x}}+\sqrt{\frac{y}{3-2y}}\le \sqrt{\frac{x+y}{6-2x-2y}}   (*) $

令$x=\frac13,y=\frac16$，代入上式，左边= $\sqrt{\frac17}+\frac14$,右边=$\sqrt{\frac{1}{10}}$，上式不成立。

令$x=\frac12,y=\frac16$，代入上式，左边= $\frac12+\frac14$,右边=$\sqrt{\frac17}$，上式也不成立。

这样看来，要让（*）成立很难啊。

kuing

回复 10# 走走看看

右边缺系数