根式、分式、含参、三元全对称

kuing

昨天这帖的错题经研究发现可以修改系数使之成立，结论如下。

命题：设 $x$, $y$, $z\geqslant0$, $x+y+z=3$, $k\geqslant9/2$，则有
\[\sqrt{\frac x{k-x}}+\sqrt{\frac y{k-y}}+\sqrt{\frac z{k-z}} \leqslant\frac3{\sqrt{k-1}}.\]
证明：由对称性不妨设 $x\leqslant y\leqslant z$，则 $z\geqslant1$, $x+y\leqslant2$，于是 $x/k+y/k\leqslant2/k\leqslant4/9<1/2$，根据《撸题集》第 155 页引理 2.1.2，可得
\[\sqrt{\frac{\frac xk}{1-\frac xk}}+\sqrt{\frac{\frac yk}{1-\frac yk}}\leqslant 2\sqrt{\frac{\frac xk+\frac yk}{2-\frac xk-\frac yk}},\]即
\[\sqrt{\frac x{k-x}}+\sqrt{\frac y{k-y}}\leqslant 2\sqrt{\frac{x+y}{2k-x-y}}=2\sqrt{\frac{3-z}{2k-3+z}},\]故只需证
\[2\sqrt{\frac{3-z}{2k-3+z}}+\sqrt{\frac z{k-z}}\leqslant \frac3{\sqrt{k-1}},\]两边平方等价于
\[4\sqrt{\frac{3-z}{2k-3+z}\cdot\frac z{k-z}}\leqslant \frac9{k-1}-\frac{4(3-z)}{2k-3+z}-\frac z{k-z},\]这里简略证明上式右边恒为正，将右边整理为 $9/(k-1)+5-8k/(2k-3+z)-k/(k-z)$，由此易知其关于 $z$ 上凸，因此只需验证当 $z=0$ 和 $z=3$ 时均为正即可，代入易知确实都为正，因此右边恒为正，这样，我们可以对上式再次两边平方，化简后最终等价于
\[\frac{9k(z-1)^2\cdot M}{(k-1)^2(k-z)^2(2k-3+z)^2}\geqslant0,\]其中
\[M=(k+8)z^2+(-4k^2+10k-24)z+4k^3-20k^2+25k,\]其关于 $z$ 的判别式为
\[\Delta=(-4k^2+10k-24)^2-4(k+8)(4k^3-20k^2+25k)=-64(k-1)^2(2k-9)\leqslant0,\]故 $M\geqslant0$，所以命题获证。

注：$k=9/2$ 是最佳系数，不能再小，皆因当 $k=9/2$ 时 $M=(5z-12)^2/2$，再小 $M$ 就会有负，不等式就不成立了。而当 $k=9/2$ 时，写成齐次不等式的形式为
\[\sum\sqrt{\frac x{x+3y+3z}}\leqslant\frac3{\sqrt7},\]如上所述可知其有两个取等条件 $x=y=z$ 和 $x:y:z=1:1:8$，这个不等式在《撸题集》第 660 页题目 5.1.58 的注里也曾提到过，但当年我还不会证。

isee

回复 1# kuing

"当年我还不会证。"

kuing

还没完，《撸题集》第 155 页引理 2.1.2 其实还有反向的结论，为了方便看还是先把原文截上来。




其反向结论为：若 $x$, $y\geqslant0$, $x+y\in[2/3,1)$，则
\[\sqrt{\frac x{1-x}}+\sqrt{\frac y{1-y}}\geqslant 2\sqrt{\frac{x+y}{2-x-y}},\]等号成立当且仅当 $x=y$ 或 $\{x,y\}=\{0,2/3\}$。

证明：沿用上面证法中的东西，不同的是这里 $p\in[2/3,1)$。

在求导完之后，这回不放缩，而是考查其分子，令
\[h(q)=(1-p)\sqrt{\frac{1-p}q+1}-2+p,\]显然关于 $q$ 递减，当 $q\to0$ 时 $h(q)\to+\infty$，且 $h(p^2/4)=(2-p)(1-2p)/p<0$，故 $h(q)$ 在 $(0,p^2/4]$ 上先正后负，即 $g(q)$ 先增后减，于是有
\[g(q)\geqslant\min\left\{ g(0),g\left( \frac{p^2}4 \right) \right\},\]不难计算出
\[g(0)-g\left( \frac{p^2}4 \right)=\frac{p(3p-2)}{(1-p)(2-p)}\geqslant0,\]所以
\[g(q)\geqslant g\left( \frac{p^2}4 \right)=\frac{4p}{2-p},\]不等式得证，至于为何取等条件会多了一个，是因为 $p=2/3$ 时 $g(0)=g(p^2/4)$。

注：以上结论均可写成齐次不等式的形式，具体来说，当 $x+y=p$ 时
\begin{align*}
\sqrt{\frac x{1-x}}+\sqrt{\frac y{1-y}}\leqslant 2\sqrt{\frac{x+y}{2-x-y}}
&\iff\sqrt{\frac x{\frac{x+y}p-x}}+\sqrt{\frac y{\frac{x+y}p-y}}\leqslant 2\sqrt{\frac p{2-p}}\\
&\iff\sqrt{\frac x{(1-p)x+y}}+\sqrt{\frac y{(1-p)y+x}}\leqslant \frac2{\sqrt{2-p}},
\end{align*}再令 $p=1-1/\lambda$，则 $p\in[0,1/2]\iff\lambda\in[1,2]$, $p\in[2/3,1)\iff\lambda\in[3,+\infty)$，代入化简后得到：

（1）若 $\lambda\in[1,2]$，则
\[\sqrt{\frac x{x+\lambda y}}+\sqrt{\frac y{y+\lambda x}}\leqslant \frac2{\sqrt{\lambda+1}};\]
（2）若 $\lambda\in[3,+\infty)$，则
\[\sqrt{\frac x{x+\lambda y}}+\sqrt{\frac y{y+\lambda x}}\geqslant \frac2{\sqrt{\lambda+1}}.\]
这形式看起来更好看，而事实上，这也是《撸题集》第 174 页题目 2.1.28 所得到过的结论，我那个擦！兜兜转转又回到《撸题集》上了，真神奇……

既然存在有反向的引理，那三元的情况是否也会有反向结论？时间关系，明天再玩……