怎样证明复合函数黎曼可积

hbghlyj

Show that if $g:[a, b] \rightarrow[c, d]$ is an Riemann integrable function $f:[c, d] \rightarrow \mathbb{R}$ is continuous then the composition $f \circ g$ is Riemann integrable.

书上提示说用到第4题的结果,第4题是
Show that a bounded function $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ is integrable if and only if the following is true. For every $\varepsilon>0$, there is a partition $\mathcal{P}: a=x_{0} \leqslant x_{1} \leqslant$ $\ldots \leqslant x_{n}=b$, such that the total length of all subintervals $\left(x_{i-1}, x_{i}\right)$ on which $\sup _{x \in\left(x_{i-1}, x_{i}\right)} f>\inf _{x \in\left(x_{i-1}, x_{i}\right)} f+\varepsilon$ is at most $\varepsilon$.

abababa

回复 1# hbghlyj

因为有勒贝格定理：$f$黎曼可积当且仅当$f$有界且不连续点构成零测集。

因为$g$的值域是区间$[c,d]$，函数$f$是$[c,d]$上的连续函数，所以$f\circ g$必定有界(1)。

因为$g$是黎曼可积的，所以$g$在$[a,b]\setminus E$上连续，其中$m(E)=0$。对任意的$x_0\in[a,b]\setminus E$都有
\[(f\circ g)(x_0)=f(g(x_0))=f(g(\lim_{x\to x_0}x))=\lim_{x\to x_0}[f(g(x))]=\lim_{x\to x_0}[(f\circ g)(x)]\]

所以$f\circ g$在$x_0$处连续，由$x_0$的任意性可知$f\circ g$在$[a,b]\setminus E$上连续，即$f\circ g$的不连续点构成零测集(2)。

这样的话，根据(1)(2)和勒贝格定理，就得到了$f\circ g$是黎曼可积的。

abababa

回复 1# hbghlyj
这个复合反过来行不行？

如果$g$不是从闭区间到闭区间的映射，那存在反例：
$g:(0,1)\to(1,\infty), g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}},f:(1,\infty)\to(1,\infty), f(x)=x^2$。显然这里$f$是连续函数，$g$是$(0,1)$上的黎曼可积函数，但是这样的话$g\circ f:(1,\infty)\to(1,\infty), g\circ f=\frac{1}{x}$不是黎曼可积函数。

如果要求$f,g$的定义域都是紧致集也是不行，也有反例。

但如果要求$g:[c,d]\to\mathbb{R}$是黎曼可积函数，连续函数$f:[a,b]\to[c,d]$的定义域是全区间$[a,b]$，并且是满射，这样$g\circ f$是不是黎曼可积函数呢？

abababa

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上面这个$g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$的反例不行，$g$不是黎曼可积函数，因为它无界。但确实存在那样的黎曼可积函数$g$和连续函数$f$，使得$g\circ f$不是黎曼可积函数。

hbghlyj

回复 4# abababa
Consider the function $g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ defined as follows. Set $g(x)=\frac{1}{q}$ if $x=\frac{a}{q}$ is a rational in lowest terms, and $g(x)=0$ if $x$ is irrational. Show that $g$ is integrable.
Hence, or otherwise, show that there are two integrable functions $f, g$ : $[0,1] \rightarrow[0,1]$ such that the composition $f \circ g$ is not integrable.

Solution.
For $n∈\Bbb N^*$, there are finitely many $x∈[0,1]$ such that $g(x)≥\frac1n$, set $ϕ_+=1$ at these points and $\frac1n$ at other points, then $ϕ_-=0$ is a minorant for $g$ and $ϕ_+$ is a majorant for $g$. $\inf I(ϕ_+)=\inf\frac1n=0$, so $g$ is integrable.
Let $f={\bf1}_{(0,1)}$ then $f○g$ is Dirichlet function (not integrable).

hbghlyj

回复 5# hbghlyj
$g$可积,但$f={\bf1}_{(0,1)}$不是连续函数.....这个例子

abababa

回复 5# hbghlyj

这个只是证明了两个黎曼可积函数的复合不一定仍黎曼可积，这里的$g$就是黎曼函数，$f$只在一点不连续，因为它的不连续点是零测集并且有界，所以也是黎曼可积的。
但是只要求黎曼可积太少了，得要求有一个连续。当要求$g$黎曼可积，$f$是连续函数或者是单调增函数时，$g\circ f$仍然不一定黎曼可积，网友给讲过这个例子，构造的连续函数定义域不在全区间上。
但我现在想的是，这个连续函数要更好一点，定义域和值域都是全区间，这样复合之后是不是黎曼可积的。

abababa

回复 7# abababa
是不是存在连续函数g和黎曼可积函数f，满足g是从区间[a,b]到区间[c,d]的满射，f是定义在全区间[c,d]上的函数，但是f复合g不是黎曼可积的？

maven 20:51:28
当然存在，我有上将 Cantor，可解此题。定义 f: [0,1] -> {0,1} 为 Cantor 集 C 上的指示函数，就是在 C 上值为 1，在 [0,1] \ C 上值为 0。它就是 Riemann 可积函数。再定义 g_n 是把 Smith-Volterra-Cantor 集 S 的第 n 次操作留下的部分的端点，映到 C 的第 n 次操作留下的部分的端点，g_n 在 [0,1] 的其余部分用线段连结。这样 g_n 就是单调增连续函数，设 g_n 的极限函数为 g，显然 g 也是增函数，并且把 S 映到 C，而|g_{n+1}-g_n| <= 1/3^n -> 0，所以 g_n 按一致范数收敛到 g，因此 g 也是连续函数。现在就得到你说的 f 和 g，显然 f 的不连续点是集合 C，而 g(S) = C，因此 f 复合 g 的不连续点是集合 S，但 S 有正测度1/2，由 Lebesgue，它就 Riemann 不可积。

上面是刚才网友给讲的，我对那个映射g还不太明白。