次正规子群指数的整除性

abababa

次正规子群的定义：给定群$G$的子群$H$，如果存在正规子群链$H=H_0\lhd H_1\lhd\cdots\lhd H_n=G$，则称$H$是$G$的次正规子群。

问题：设$G_1,\cdots,G_k$都是群$G$的次正规子群，则$H=\bigcap_{i=1}^{k}G_i$也是$G$的次正规子群。若$[G:G_i]$都是有限数，则还有$[G:\bigcap_{i=1}^{k}G_i]\mid\prod_{i=1}^{k}[G:G_i]$。

我证明了$H$是$G$的次正规子群，整除性那个要怎么证明呢？我想用数学归纳法，当$k=1$时显然成立，假设当$k=n$时成立，即
\[[G:H]\mid\prod_{i=1}^{n}[G:G_i]\]

其中$H=\bigcap_{i=1}^{n}G_i$，则当$k=n+1$时，
\[[G:\bigcap_{i=1}^{n+1}G_i]=[G:H\cap G_{n+1}]=[G:G_{n+1}][G_{n+1}:H\cap G_{n+1}]\]
只要能证明
\[[G_{n+1}:H\cap G_{n+1}]\mid\prod_{i=1}^{n}[G:G_i]\]
就行了，根据归纳假设有$[G:H]\mid\prod_{i=1}^{n}[G:G_i]$，所以只要能证明$[G_{n+1}:H\cap G_{n+1}]\mid[G:H]$就行了，我做到这里，后面不知道怎么证明。如果$H$是$G$的正规子群，那么我证明过这样的结论，但这里$H$不一定是$G$的正规子群，只能次正规。

abababa

换了新论坛，刚才这个帖子没转过来，重新发一下，并且发一下刚才maven的解答，但有一部分被盖住了：

hbghlyj

设 $N \triangleleft G, K \leq G$, 则$$[K: N \cap K] \mid[G: H]\tag{*}$$
证明: 由 $\operatorname{ISO}, K /(N \cap K) \cong N K / N$, 斦以 $[K: N \cap K]=\operatorname{card}(N K / N)$ 。 因为 $N K \leq$ $\operatorname{ord}(N K / N) \mid \operatorname{ord}(G / N)=[G: N]$ 。 所以 $[K: N \cap K][G: N]$ 。
记次正规为 $\triangleleft \triangleleft$。设 $N \triangleleft \triangleleft G, K \leq G$, 则 $[K: N \cap K] \mid[G: N]$。
证明: 设 $N=N_0 \triangleleft \cdots \triangleleft N_n=G$, 因为 $N_i \triangleleft N_{i+1}, N_{i+1} \cap K \leq N_{i+1}$, 由 $(*)$,
$$
\left[N_{i+1} \cap K:\left(N_{i+1} \cap K\right) \cap N_i\right] \mid\left[N_{i+1}: N_i\right]
$$
但显然 $\left(N_{i+1} \cap K\right) \cap N_i=N_i \cap K$,上式成为
$$
\left[N_{i+1} \cap K: N_i \cap K\right] \mid\left[N_{i+1}: N_i\right]
$$
于是
$$\tag{**}
[K: N \cap K]=\left[N_n \cap K: N_0 \cap K\right]=\prod_{i=0}^{n-1}\left[N_{i+1} \cap K: N_i \cap K\right] \mid \prod_{i=0}^{n-1}\left[N_{i+1}: N_i\right]=\left[N_n: N_0\right]=[G: N]
$$
现在证明你的问题, 根据你证明的 $H \triangleleft \triangleleft G$, 还有显然的 $G_{n+1} \leq G$, 由 $(\text{**})$, $\left[G_{n+1}: H \cap G_{n+1}\right] \mid[G: H]$, 把这个替换到你的等式末尾, 变成能整除 $\left[G: G_{n+1}\right][G: H]$, 因为你有归纳假设, $[G: H]$ 能整除乘积块,把这个乘进乘积块里就完成归纳了。

hbghlyj

可以收看网易公开课, 定理2.1