$GH/H$是不是等于$G/H$？

abababa

如题，当$H$是$G$的正规子群时，是不是有$GH/H=G/H$？
我的证明：因为$GH/H=\{xH:x\in GH\}=\{(gh)H:g\in G,h\in H\}=\{gH:g\in G\}=G/H$。

因为我看到一个定理中写的是$(G/H)^{(n)}=G^{(n)}H/H$，其中$G^{(n)}$是$G$的$n$次导群，但如果$G^{(n)}H/H=G^{(n)}/H$，那为什么要这样写呢？

abababa

hbghlyj 发表于 2022-5-20 18:15
当$H$是$G$的子群时,是不是有$GH=G$?

嗯，所以我不明白为什么要写$G^{(n)}H/H$，是因为$H$不一定是$G^{(n)}$的子群？但是作不了商群也可以作商集啊。

hbghlyj

abababa 发表于 2022-5-20 12:21
嗯，所以我不明白为什么要写$G^{(n)}H/H$，是因为$H$不一定是$G^{(n)}$的子群？但是作不了商群也可以作商集啊。

$G^{(n)}$是$G$的$n$次导群，$n\ge1$，不一定有$G^{(n)}H/H=G^{(n)}/H$。
套用1#的证明会发现红色$=$有问题: $gh$不一定$\in G^{(n)}$
$$G^{(n)}H/H=\{xH:x\in G^{(n)}H\}=\{(gh)H:g\in G^{(n)},h\in H\}\color{red}=G^{(n)}/H$$