求$\cos(\alpha-\beta)-2\cos\alpha-\cos\beta$的最小值。

zhuyang

用wolframalpha求得的最小值为$-\dfrac94$, 此时$\alpha=2\arctan\dfrac1{\sqrt{15}}$, $\beta=-2\arctan\dfrac{\sqrt3}{\sqrt5}$，但是不知道怎么算出来的，求教诸位，谢谢！

hbghlyj

若$A+B+C=(2k+1)π,\,k∈\Bbb N$，则对任意实数 $x$、$y$、$z$，有：
${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant 2xy\cos C+2yz\cos A+2zx\cos B.}$

— zh.wikipedia.org/zh/三角形内角的嵌入不等式
 

\begin{array}l
(A,B,C)=\left(β-α,α,π-β\right)\\
(x,y,z)=\left(\sqrt2,-\frac{\sqrt2}2,\sqrt2\right)\\
⇒2+\frac12+2⩾-2\cos(β-α)+4\cosα-2\cos(π-β)\\
⇒\cos(β-α)-2\cosα+\cos(π-β)⩾-\frac94
\end{array}

zhuyang

非常感谢！

色k

令 $ t=\abs{\sin (\alpha /2)} $，有
\begin{align*}
\cos(\alpha-\beta)-\cos\beta-2\cos\alpha &=-2\sin \frac\alpha 2\sin \frac{\alpha-2\beta}2-2\cos\alpha\\
&\geqslant -2t-2(1-2t^2)\\
&\geqslant -\frac94.
\end{align*}

isee

这里原来早有讨论~源自知乎提问.


题：若锐角 $\alpha,\,\beta$ 使得 $f(\alpha,\beta)=\cos\alpha+\frac32\cos\beta-\cos(\alpha+\beta)$ 取得最大值时，则 $\tan2\alpha=$ ____.

能和差和积（或积化和差）的，优先试一下 \begin{align*}
f(\alpha,\beta)&=\cos\alpha-\cos(\alpha+\beta)+\frac32\cos\beta\\[1ex]
&=-2\sin\big(\frac{2\alpha+\beta}2\big)\sin\big(\frac{-\beta}2\big)+\frac32\cos\beta\\[1ex]
&=2\sin\big(\frac{2\alpha+\beta}2\big)\sin\frac{\beta}2+\frac32\cos\beta,
\end{align*} 注意到锐角 $\beta$ 时 $\sin\frac\beta2>0$，由三角函数的有界性，考虑将上式放缩成一元，即 \begin{align*}
f(\alpha,\beta)&=2\sin\big(\frac{2\alpha+\beta}2\big)\sin\frac{\beta}2+\frac32\cos\beta\\[1ex]
&\leqslant 2\cdot 1\cdot \sin\frac{\beta}2+\frac32\big(1-2\sin^2\frac\beta2\big)\\[1ex]
&=-3\big(\sin\frac\beta2-\frac13\big)^2+\frac{11}6\\[1ex]
&\leqslant \frac{11}6,
\end{align*} 当且仅当 $\sin\big(\frac{2\alpha+\beta}2\big)=1$ 且 $\sin\frac\beta2-\frac13=0$ 时取等“=”.

即 $2\alpha+\beta=\pi$ ， $\tan\beta=\frac1{2\sqrt2}$ ，从而 \[\tan2\alpha=\tan\big(\pi-\beta\big)=-\tan\beta=-\frac{2\tan\beta}{1-\tan^2\frac\beta2}=-\frac{4\sqrt 2}7.\]

色k

isee 发表于 2023-8-27 15:41
这里原来早有讨论~源自知乎提问.

你是怎么搜到这儿来的

isee

色k 发表于 2023-8-27 17:09
你是怎么搜到这儿来的

搜 \sqrt5

（记得有 $\mathrm e^x-\ln x>\sqrt 5$）

hbghlyj

isee 发表于 2023-8-27 21:32
搜 \sqrt 5

（记得有 $\mathrm e^x-\ln x>\sqrt 5$）

单\在搜索中会被去掉
搜\\相当于搜\
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建议提交搜索时自动将\替换为\\

hbghlyj

isee 发表于 2023-8-27 21:32
（记得有 $\mathrm e^x-\ln x>\sqrt 5$）

请问怎么证明$\mathrm e^x-\ln x>\sqrt 5$啊

hbghlyj

$f(x)=x+\frac{\sqrt5}2$满足$f(x)-f^{-1}(x)=\sqrt5$.
问题:有没有其它函数$f(x)$满足$f(x)-f^{-1}(x)=\sqrt5$.

isee

hbghlyj 发表于 2023-8-27 22:39
单在搜索中会被去掉
搜相当于搜
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好像 \ \sqrt5 比\sqrt5 是要准些

不过，我记得打代码习惯，\sqrt 5 与 \sqrt5 这两关键词不同

isee

hbghlyj 发表于 2023-8-28 04:44
请问怎么证明$\mathrm e^x-\ln x>\sqrt 5$啊

就是这里呀
来自群的函数不等式 <mjx-con
forum.php?mod=viewthread&tid=2515
(出处: 悠闲数学娱乐论坛(第3版))

hbghlyj

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其妙