正弦半波整流函数如何用 mathematica 求其傅里叶展开式

TSC999

在 mathematica 中，有没有将函数进行周期延拓的指令？其目的是：

例如，正弦半波整流函数如何用 FourierTrigSeries 指令求其傅里叶展开式？

hbghlyj

$$y=\begin{cases}\sin x&2kπ⩽x⩽(2k+1)π\\0&(2k+1)π⩽x⩽(2k+2)π\end{cases}$$ 可以表示为:正弦函数乘以方波函数 $$\verb|Sin[x] (1 + SquareWave[x/(2 Pi)])/2|$$



方波(SquareWave)函数:


FourierCoefficient求出第n项系数:$$-\frac{(-1)^n+1}{2 \pi (n-1) (n+1)}$$

FourierSeries然后ExpToTrig: $$\frac{1}{\pi }+\frac{\sin (x)}{2}-\frac{2 \cos (2 x)}{3 \pi }-\frac{2 \cos (4 x)}{15 \pi }-\frac{2 \cos (6 x)}{35 \pi }$$

hbghlyj

可以表示为sin(x)乘以sin(x)的Heaviside theta函数 $$y=\sin(x)·θ(\sin(x))$$ 其中$θ(x)=\begin{cases}0&x<0\\1&x>0\end{cases}$

可以表示为$\frac12(\sin(x)+|\sin(x)|)$


同上,可以计算FourierSeries

TSC999

非常感谢 hbghlyj 老师的精彩答复！看来正弦半波整流函数有多种表达方式。其中乘以赫维赛德函数的方法和加上正弦绝对值函数的方法最好，因为这二者的傅里叶变换时间都很短，都小于 1 秒。那个加上正弦乘方波的表达式，傅里叶变换时间将近 20 秒。

TSC999

类似的问题： 三角波函数和锯齿波函数如何表达？

色k

TSC999 发表于 2022-6-25 08:29
类似的问题： 三角波函数和锯齿波函数如何表达？

ArcSin[Sin[x]]

2ArcTan[Tan[x/2]]

TSC999

继续请教，下面这个 \(y=x^2 ，-π≤x≤\pi\) 如何用一个简单函数

在 (-∞,+∞) 上进行延拓？



另外，mathematica 软件有没有一个通用的方法，能把某个区间的函数延拓成在 (-∞,+∞) 上的周期函数？

kuing

回复 6# 的点评：

好利害！这是临时想出来的还是过去就知道的？

第一个是早就知道的，当年在 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=133 里就玩过。
第二个是即场想的（当然也是参考了第一个

hbghlyj

TSC999 发表于 2022-6-25 15:26
继续请教，下面这个 \(y=x^2 ，-π≤x≤\pi\) 如何用一个简单函数

在 (-∞,+∞) 上进行延拓？

（抢答
$$y=\left(2\arctan\left(\tan\frac{x}{2}\right)\right)^{2}$$

kuing

另外，我还想起了这帖：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=5947

TSC999

kuing 发表于 2022-6-26 15:03
另外，我还想起了这帖：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=5947

上面是将版主 k 先生的帖子换成 mathematica 程序以后的情况。最后一行是将延拓后的函数展成傅氏级数的前几项。

TSC999

用上面 k 版主的方法，如何将 \(y= x^2;   (-\pi ≤ x ≤\pi )\)  延拓成 \((-∞,+∞)\) 区间上的周期函数\(f(x)\)？