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本帖最后由 abababa 于 2022-7-30 20:45 编辑 设$T$是希尔伯特空间$H$上的线性有界自共轭算子，$\sigma(T)$是$T$的谱集合，求证$\inf_{\|x\|=1}\{\langle Tx,x \rangle:x\in H\}\in\sigma(T)$。
我已知的结论有：
1.$\{\langle Tx,x \rangle:x\in H,\|x\|=1\}$是实数集的子集。
2.$\sigma(T)$是闭集。
3.$\|T\|=\sup_{\|x\|=1}\{\langle Tx,x \rangle:x\in H\}\in\sigma(T)$。
4.$\sigma(T)+c=\sigma(T+c\mathcal{I}), \{\langle Tx,x \rangle:x\in H,\|x\|=1\}+c=\{\langle (T+c\mathcal{I})x,x \rangle:x\in H,\|x\|=1\}$，其中$c$是实数，$\mathcal{I}$是恒等算子。
5.$\lambda\in\sigma(T)$的充分条件是：存在单位序列$\{x_n\},\|x_n\|=1$使得$\|(\lambda\mathcal{I}-T)x_n\|\to0$。
证明$\sup_{\|x\|=1}\{\langle Tx,x \rangle:x\in H\}\in\sigma(T)$时，设$M=\sup_{\|x\|=1}\{\langle Tx,x \rangle:x\in H\}$，根据上确界的定义可知，存在单位序列$\{x_n\},\|x_n\|=1$满足$\langle Tx_n,x_n\rangle\to M$。然后
\begin{align*}
\|(M\mathcal{I}-T)x_n\|^2
&=\langle (M\mathcal{I}-T)x_n, (M\mathcal{I}-T)x_n\rangle
=\|Tx_n\|^2+M^2\|x_n\|^2-2M\langle Tx_n,x_n\rangle\\
&=\|Tx_n\|^2+M^2-2M\langle Tx_n,x_n\rangle\le\|T\|^2\|x_n\|^2+M^2-2M\langle Tx_n,x_n\rangle
=2M^2-2M\langle Tx_n,x_n\rangle\to2M^2-2M^2=0
\end{align*}
所以$(M\mathcal{I}-T)x_n=0$，所以$M\in\sigma(T)$（根据结论5）。 |
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